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Error code: DatasetGenerationError
Exception: TypeError
Message: Couldn't cast array of type string to null
Traceback: Traceback (most recent call last):
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writer.write_table(table)
File "/src/services/worker/.venv/lib/python3.9/site-packages/datasets/arrow_writer.py", line 644, in write_table
pa_table = table_cast(pa_table, self._schema)
File "/src/services/worker/.venv/lib/python3.9/site-packages/datasets/table.py", line 2272, in table_cast
return cast_table_to_schema(table, schema)
File "/src/services/worker/.venv/lib/python3.9/site-packages/datasets/table.py", line 2223, in cast_table_to_schema
arrays = [
File "/src/services/worker/.venv/lib/python3.9/site-packages/datasets/table.py", line 2224, in <listcomp>
cast_array_to_feature(
File "/src/services/worker/.venv/lib/python3.9/site-packages/datasets/table.py", line 1795, in wrapper
return pa.chunked_array([func(chunk, *args, **kwargs) for chunk in array.chunks])
File "/src/services/worker/.venv/lib/python3.9/site-packages/datasets/table.py", line 1795, in <listcomp>
return pa.chunked_array([func(chunk, *args, **kwargs) for chunk in array.chunks])
File "/src/services/worker/.venv/lib/python3.9/site-packages/datasets/table.py", line 2052, in cast_array_to_feature
casted_array_values = _c(array.values, feature.feature)
File "/src/services/worker/.venv/lib/python3.9/site-packages/datasets/table.py", line 1797, in wrapper
return func(array, *args, **kwargs)
File "/src/services/worker/.venv/lib/python3.9/site-packages/datasets/table.py", line 2086, in cast_array_to_feature
return array_cast(
File "/src/services/worker/.venv/lib/python3.9/site-packages/datasets/table.py", line 1797, in wrapper
return func(array, *args, **kwargs)
File "/src/services/worker/.venv/lib/python3.9/site-packages/datasets/table.py", line 1948, in array_cast
raise TypeError(f"Couldn't cast array of type {_short_str(array.type)} to {_short_str(pa_type)}")
TypeError: Couldn't cast array of type string to null
The above exception was the direct cause of the following exception:
Traceback (most recent call last):
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parquet_operations = convert_to_parquet(builder)
File "/src/services/worker/src/worker/job_runners/config/parquet_and_info.py", line 1055, in convert_to_parquet
builder.download_and_prepare(
File "/src/services/worker/.venv/lib/python3.9/site-packages/datasets/builder.py", line 894, in download_and_prepare
self._download_and_prepare(
File "/src/services/worker/.venv/lib/python3.9/site-packages/datasets/builder.py", line 970, in _download_and_prepare
self._prepare_split(split_generator, **prepare_split_kwargs)
File "/src/services/worker/.venv/lib/python3.9/site-packages/datasets/builder.py", line 1702, in _prepare_split
for job_id, done, content in self._prepare_split_single(
File "/src/services/worker/.venv/lib/python3.9/site-packages/datasets/builder.py", line 1858, in _prepare_split_single
raise DatasetGenerationError("An error occurred while generating the dataset") from e
datasets.exceptions.DatasetGenerationError: An error occurred while generating the datasetNeed help to make the dataset viewer work? Make sure to review how to configure the dataset viewer, and open a discussion for direct support.
source_file string | problem_type string | problem string | solution string | remark string | figures list |
|---|---|---|---|---|---|
./raw_volume-zh/volume1/chapter1.tex | proof | 例2. 设 $A$ 是两个整数平方差的集合,即 $A=\left\{x\mid x=m^{2}-n^{2},\,m,n\in\mathbf{Z}\right\}$.证明:
(1) 若 $s,\ t\in A$ ,则 $s t\in A.$
(2) 若 $s,\ t\in A,\ t\neq0$,则$\frac{s}{t}=p^{2}-q^{2}.$ ,其中 $p,q$ 是有理数. | 分析: 想办法将 $st$ 表示为两个整数的平方差.
证明: (1)由 $s,t\in A$ ,可设
$$
s=m_{1}^{2}-n_{1}^{2}\,,\;t=m_{2}^{2}-n_{2}^{2}\,,
$$
其中 $m_{1}, n_{1}, m_{2}, n_{2}$ 均为整数.
是
$$
\begin{array}{l}{{s t=(m_{1}^{2}-n_{1}^{2})\,(m_{2}^{2}-n_{2}^{2})}}\\ {{=m_{1}^{2}m_{2}^{2}+2m_{1}m_{2}n_{1}n_{2}+n_{1}^{2}n_{2}^{2}-m_{1}^{2}n_{2}^{2}-2m_{1}m_{2}n_{1... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter1.tex | proof | 例3. 设函数 $f(x)=x^{2}+a x+b\ (a,\,b\in\mathbb{R})$ ,集合 $A=\{x\mid x=f(x)$ $x\in\mathbb{R})\,,\,B=\{x\mid x=f(f(x))\,,\,x\in\mathbb{R}\}.$
(1)证明: $A\subset B$ ;
(2)当 $A=\{-1,\,3\}$ 时,求集合 $B$ . | 分析: 欲证 $A\subseteq B$, 只需证明方程 $x=f(x)$ 的根必是方程 $x=f(f(x))$ 的根.
解: (1)对任意的 $x_{0}\in A$ ,有 $x_{0}=f(x_{0}), \, x_0 \in \mathbb{R}.$
于是
$$
f(f(x_{0}))=f(x_{0})=x_{0}.
$$
故 $x_{0}\in B$ ,所以 $A\subseteq B$.
(2)因 $A=\{-1,\,3\}$ ,所以
$$
\begin{align*}
\left\{
\begin{aligned}
(-\,1)^{2}+a*(-\,1)+b=-\,1, \\
3^{2}+a*3+b... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter1.tex | proof | 例6. 求所有的角 $\alpha$, 使得集合
$$
\{\sin \alpha, \sin 2 \alpha, \sin 3 \alpha\}=\{\cos \alpha, \cos 2 \alpha, \cos 3 \alpha\} .
$$ | 解: 设 $\alpha \in[0,2 \pi)$. 由已知得
$$
\sin \alpha+\sin 2 \alpha+\sin 3 \alpha=\cos \alpha+\cos 2 \alpha+\cos 3 \alpha,
$$
即
$$
\begin{aligned}
2 \sin 2 \alpha \cos \alpha+\sin 2 \alpha & =2 \cos 2 \alpha \cos \alpha+\cos 2 \alpha, \\
\sin 2 \alpha(2 \cos \alpha+1) & =\cos 2 \alpha(2 \cos \alpha+1) .
\end{aligned}
$$
所以 $... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter1.tex | proof | 例7. 设 $S$ 为非空数集, 且满足: (i) $2 \notin S$; (ii) 若 $a \in S$, 则 $\frac{1}{2-a} \in S$. 证明:
(1) 对一切 $n \in \mathbf{N}^*, n \geqslant 3$, 有 $\frac{n}{n-1} \notin S$;
(2) $S$ 或者是单元素集,或者是无限集. | 分析: 对于 (1), 因为 $n \in \mathbf{N}^*$, 可以考虑采用数学归纳法.
证明: (1) 因为 $S$ 非空, 所以存在 $a \in S$, 且 $a \neq 2$.
我们用数学归纳法证明下面的命题:
若 $a \in S$, 则对 $k \in \mathbf{N}^*, \frac{(k-1)-(k-2) a}{k-(k-1) a} \in S$, 且 $a \neq \frac{k+1}{k}$.
当 $k=1$ 时, 显然 $a \in S$, 且 $a \neq 2$ 成立.
设 $k \in \mathbf{N}^*, \frac{(k-1)-(k-2) a}{k-(k-1) a} \in ... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter1.tex | proof | 例8. 用 $\sigma(S)$ 表示非空的整数集合 $S$ 的所有元素的和.
设 $A=\left\{a_1\right.$, $\left.a_2, \cdots, a_{11}\right\}$ 是正整数的集合, 且 $a_1<a_2<\cdots<a_{11}$; 又设对每个正整数 $n \leqslant$ 1500 , 都存在 $A$ 的子集 $S$, 使得 $\sigma(S)=n$. 求 $a_{10}$ 的最小可能值. | 分析: 要求 $a_{10}$ 的最小值, 显然应使 $\sigma(A)=1500$. 又由题设, 应使 $a_{11}$ 尽可能大, 且前 10 个数之和不小于 750 , 故取 $a_{11}=750$. 考虑整数的二进制表示, 由 $1+2+\cdots+2^7=255$ 知, 前 8 个数应依次为 $1,2,4,8,16,32,64,128$. 这时 $a_9+a_{10}=495$, 从而有 $a_{10}=248$.
解: 取 $A_0=\{1,2,4,8,16,32,64,128,247,248,750\}$, 易知 $A_0$ 满足题目要求,且 $a_{10}=248$. 故 $a_{10}$ 的最小可能值不超过 ... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter1.tex | proof | 例9. 设 $S$ 是由 $2 n$ 个人组成的集合.
求证: 其中必定有两个人,他们的公共朋友的个数为偶数. | 证明: 用反证法: 设 $S$ 为一个由 $2 n$ 个人组成的集合, $S$ 中每两个人的公共朋友数为奇数.
对 $S$ 中的任意一个人 $A$, 记 $M=\left\{F_1, \cdots, F_k\right\}$ 为 $A$ 的朋友集, 可以证明： 对每个 $A, k$ 都为偶数.
事实上, 对每个 $F_i \in M$, 考虑他在 $M$ 中的朋友数, 所有这 $k$ 个 $F_i$ 的这些朋友数之和为偶数 (因为朋友是相互的), 而对 $A 、 F_i$ 而言, 其公共朋友数为奇数, 故每个 $F_i$ 的这样的朋友数为奇数, 故 $k$ 为偶数.
设 $k=2 m$, 现在考虑每个 $F_i \in M$, 他的... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter1.tex | proof | 例10. 设 $n$ 是大于 1 的正整数,证明存在一个集合 $A \varsubsetneqq\{1,2, \cdots, n\}$, 使得
(1) $|A| \leqslant 2[\sqrt{n}]+1$;
(2) $\{|x-y| \mid x, y \in A, x \neq y\}=\{1,2, \cdots, n-1\}$. | 分析: 由 $|A| \leqslant 2[\sqrt{n}]+1$ 想到, 设 $n=k^2+b, 0 \leqslant b \leqslant 2 k$.
证明: 设 $n=k^2+b, 0 \leqslant b \leqslant 2 k$.
(1) 当 $b \leqslant k$ 时,考虑集合
$$
\begin{gathered}
A=\left\{1,2, \cdots, k, 2 k, 3 k, \cdots, k^2, k^2+b\right\} \varsubsetneqq\{1,2, \cdots, n\}, \\
|A|=2 k \leqslant 2[\sqrt{n}]+1=2 k+1,
\end{... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter2.tex | proof | 例6. 设 $n \in \mathbf{N}$, 且 $n \geqslant 15, A 、 B$ 都是 $\{1,2, \cdots, n\}$ 的真子集, $A \cap B=\varnothing$, 且 $\{1,2, \cdots, n\}=A \cup B$. 证明: $A$ 或者 $B$ 中必有两个不同数的和为完全平方数. | 证明:由题设, $\{1,2, \cdots, n\}$ 的任何元素必属于且只属于它的真子集 $A$ 、$B$ 之一.
假设结论不真, 则存在如题设的 $\{1,2, \cdots, n\}$ 的真子集 $A 、B$, 使得无论是 $A$ 还是 $B$ 中的任何两个不同的数的和都不是完全平方数.
不妨设 $1 \in A$, 则 $3 \notin A$. 否则 $1+3=2^2$, 与假设矛盾, 所以 $3 \in B$. 同样, $6 \notin B$, 所以 $6 \in A$. 这时 $10 \notin A$, 即 $10 \in B$. 因 $n \geqslant 15$, 而 15 或者在 $A$ 中, 或者在 $... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter2.tex | proof | 例8. 设集合 $S$ 含有 $n$ 个元素, $A_1, A_2, \cdots, A_k$ 是 $S$ 的不同子集, 它们两两的交集非空,而 $S$ 的其他子集不能与 $A_1, A_2, \cdots, A_k$ 都相交.
求证: $k=2^{n-1}$. | 分析: $S$ 有 $2^n$ 个子集, 将两个互为补集的子集作为一组, 则可将 $2^n$ 个子集分成 $2^{n-1}$ 个组, 记为 $\left\{A_i^{\prime}, B_i^{\prime}\right\}, i=1,2, \cdots, 2^{n-1}$, 显然 $A_i$ 只能选取每组中的一个子集.
证明: 设 $a \in S$. 因为 $|S|=n$, 故 $S$ 的子集中含 $a$ 的子集有 $2^{n-1}$ 个.
显然它们两两的交非空.
所以, $k \geqslant 2^{n-1}$.
又可将 $S$ 的 $2^n$ 个子集分成 $2^{n-1}$ 组, 每组有两个集合, 它们互为补集.
若 $k... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter2.tex | proof | 例9. 有 1987 个集合,每个集合有 45 个元素,任意两个集合的并集有 89 个元素, 问此 1987 个集合的并集有多少个元素? | 分析: 由每个集合有 45 个元素, 且任意两个集合的并集有 89 个元素知, 任意两个集合有且只有一个公共元素.
解显然可以由题设找到这样的 1987 个集合, 它们都含有一个公共元素 $a$,而且每两个集合不含 $a$ 以外的公共元素.
下面,我们来排除其他可能性.
由任意两个集合的并集有 89 个元素可知, 1987 个集合中的任意两个集合有且只有一个公共元素, 则容易证明这 1987 个集合中必有一个集合 $A$ 中的元素 $a$ 出现在 $A$ 以外的 45 个集合中, 设为 $A_1, A_2, \cdots, A_{45}$, 其余的设为 $A_{46}, A_{47}, \cdots, A_{1986}$.
设 $B... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter2.tex | proof | 例10. 设 $A$ 是集合 $S=\{1,2, \cdots, 1000000\}$ 的一个恰有 101 个元素的子集.
证明: 在 $S$ 中存在数 $t_1, t_2, \cdots, t_{100}$, 使得集合
$$
A_j=\left\{x+t_j \mid x \in A\right\}, j=1,2, \cdots, 100
$$
中, 每两个的交集为空集. | 分析: 先弄清楚在什么情况下 $A_i \cap A_j \neq \varnothing$. 设 $a \in A_i \cap A_j$, 则 $a=x+ t_i==y+t_j, x, y \in A$. 于是 $t_i-t_j=y-x$. 这说明选取 $t_1, t_2, \cdots, t_{100}$ 时, 只要保证其中任意两个之差不等于 $A$ 中任二元素之差即可.
证明: 考虑集合 $D=\{x-y \mid x, y \in A\}$, 则
$$
|D| \leqslant 101 \times 100+1=10101 \text {. }
$$
若 $A_i \cap A_j \neq \varnothing$, ... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter3.tex | proof | 例4. 设 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 为 $1,2, \cdots, n$ 的一个排列, $f_k=\mid\{a_i \mid a_i<a_k, i>k\}\left|, g_k=\right|\left\{a_i \mid a_i>a_k, i<k\right\} \mid$, 其中 $k=1,2, \cdots, n$. 证明:
$$
\sum_{k=1}^n g_k=\sum_{k=1}^n f_k
$$ | 分析:一般来说 $f_k \neq g_k$, 且分别计算 $f_k 、 g_k$ 是困难的.
令 $A_k=\left\{a_i\mid a_i<a_k, i>k\right\}$, 对 $A_k$ 换一种写法: $A_k=\left\{\left(a_i, a_k\right) \mid a_i<a_k, i>k\right\}$, 显然是合理的.
易知 $k \neq k^{\prime}$ 时, $A_k \cap A_k{ }^{\prime}=\varnothing$. 所以, $\sum_{k=1}^n f_k=\left|A_1\right|+\left|A_2\right|+\cdots+\left|A_n\rig... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter3.tex | proof | 例5. 设 $p \geqslant 5$ 是一个素数, $S=\{1,2, \cdots, p-1\}, A=\{a \mid a \in S, a^{p-1} \not \equiv 1\left(\bmod p^2\right) \}$. 证明 : $|A| \geqslant \frac{p-1}{2}$. | 分析:如果 $1 \leqslant a \leqslant p-1$, 显然 $1 \leqslant p-a \leqslant p-1$. 将 $a$ 与 $p-a$ 配对, 如果 $a^{p-1}$ 与 $(p-a)^{p-1}$ 模 $p^2$ 不同余, 则结论成立.
证明设 $a \in S$, 则 $p-a \in S$. 由二项式定理,有
$$
(p-a)^{p-1}-a^{p-1} \equiv-(p-1) a^{p-2} \cdot p \not \equiv 0\left(\bmod p^2\right) .
$$
于是, $a$ 和 $p-a$ 中至少有一个在 $A$ 中, 从而有
$$
|A| \geqsl... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter3.tex | proof | 例6. $A_1, A_2, \cdots, A_{30}$ 是集合 $\{1,2, \cdots, 2003\}$ 的子集,且 $\left|A_i\right| \geqslant 660$, $i=1,2, \cdots, 30$. 证明: 存在 $i \neq j, i, j \in\{1,2, \cdots, 30\}$, 使得 $\left|A_i \cap A_j\right| \geqslant$ 203. | 证明:不妨设每一个 $A_i$ 的元素都为 660 个(否则去掉一些元素). 作一个集合、元素的关系表: 表中每一行(除最上面的一行外)分别表示 30 个集合 $A_1, A_2, \cdots, A_{30}$, 表的 $n$ 列 (最左面一列除外) 分别表示 2003 个元素 1 , $2, \cdots, 2003$. 若 $i \in A_j(i=1,2, \cdots, 2003,1 \leqslant j \leqslant 30)$, 则在 $i$ 所在的列与 $A_j$ 所在行的交叉处写上 1 , 若 $i \notin A_j$, 则写上 0 .
\begin{tabular}{c|ccccc}
& 1 & 2 ... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter3.tex | proof | 例7. 设 $n, k \in \mathbf{N}^*$, 且 $k \leqslant n$. 并设 $S$ 是含有 $n$ 个互异实数的集合, $T=\left\{a \mid a=x_1+x_2+\cdots+x_k, x_i \in S, x_i \neq x_j(i \neq j), 1 \leqslant i, j \leqslant k\right\}$. 求证: $|T| \geqslant k(n-k)+1$. | 分析:设 $S_n=\left\{s_1, s_2, \cdots, s_{n-1}, s_n\right\}$, 且 $s_1<s_2<\cdots<s_{n-1}<s_n$. 作 $S_n$ 的子集 $S_{n-1}=\left\{s_1, s_2, \cdots, s_{n-1}\right\}$, 设 $S_{n-1} 、 S_n$ 分别对应 $T_{n-1} 、 T_n$. 对固定的 $k (k \leqslant n-1)$, 由 $s_{n-1}+s_{n-2}+\cdots+s_{n-k}<s_n+s_{n-2}+\cdots+s_{n-k}<s_n+s_{n-1}+s_{n-3}+\cdots+s_{n-k}<\c... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter3.tex | proof | 例10. 设 $a_1, a_2, \cdots, a_{20}$ 是 20 个两两不同的整数, 且集合 $ \{a_i+a_j \mid 1 \leqslant i \leqslant j \leqslant 20\}$ 中有 201 个不同的元素.
求集合 $\left\{\left|a_i-a_j\right| \mid 1 \leqslant i<j \leqslant 20\right\}$ 中不同元数个数的最小可能值. | 分析:从 $a_1, a_2, \cdots, a_{20}$ 中任取两个(可以相等) 相加, 至多有 $\mathrm{C}_{20}^2+ 20=210$ 个不同的和, 由题设知, 所有 $a_i+a_j$ 中有些和数相等.
另一方面, 应使所有的 $\left|a_i-a_j\right|$ 中出现尽可能多的相等的情况.
由此, 可构造一组特殊的数: $a_1^{\prime}, a_2^{\prime}, \cdots, a_{20}^{\prime}$.
解所给集合的元素个数的最小值为 100 .
首先, 令 $a_i=10^{11}+10^i, a_{10+i}=10^{11}-10^i, i=1,2, \cdots, ... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter4.tex | proof | 例2. 集合 $H=\{1,2, \cdots, 9\}$ 的分拆 $p$ 是将 $H$ 表示为两两不相交的子集的并.
对于 $n \in H$ 和分拆 $p$, 将包含 $n$ 的子集中元素的数目记为 $p(n)$. 例如, 若 $p:\{1,4,5\} \cup\{2\} \cup\{3,6,7,8,9\}$, 则 $p(6)=5$. 证明: 对 $H$ 的任意两个分拆 $p_1 、 p_2$, 存在 $H$ 的两个不同的元素 $m 、 n$, 使得
$$
p_1(m)=p_1(n), p_2(m)=p_2(n) .
$$ | 分析:因为 $H$ 只有 9 个元素, 对于一个确定的分拆 $p, p(i)(i=1$, $2, \cdots, 9)$ 只有三种不同的取值, 这是因为若有四种不同的取值, 则至少需要 $1+2+3+4=10$ 个元素.
这就给我们打开了一条通过对 $p(i)$ 可能的取值个数的研究解决问题的思路.
解用反证法.
假设可以找到 $H$ 的两个分拆 $p_1 、 p_2$, 使不存在 $H$ 的两个不同的元素 $m 、 n$, 满足
$$
p_1(m)=p_1(n), p_2(m)=p_2(n) .
$$
对于确定的 $p_1$, 若 $p_1(i)(i=1,2, \cdots, 9)$ 有四种不同的取值, 则至少需要 $1+2+3+... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter4.tex | proof | 例5. 证明: 可以把自然数集分划为 100 个非空子集,使得对任何 3 个满足关系式 $a+99 b=c$ 的自然数 $a 、 b 、 c$, 都可以从中找出两个数属于同一子集. | 分析:当然, 只要能具体地构造一个满足条件的 100 -分划即可.
在构造之前, 有必要对关系式 $a+99 b=c$ 进行讨论.
有两点是显然的: $a(\bmod 99) \equiv c(\bmod 99) ; a 、 b 、 c$ 中偶数的个数为奇数.
我们的证明由此人手.
证明按如下法则构造自然数集的子集: 在第 $i$ 个子集 $(1 \leqslant i \leqslant 99)$ 中放人所有被 99 除余 $i-1$ 的偶数,而在第 100 个子集中放人所有的奇数.
显然, 这是一个自然数集的 $100-$ 分划.
在任何满足方程 $a+99 b=c$ 的自然数 $a 、 b 、 c$ 中, 偶数的个数为奇数, ... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter4.tex | proof | 例6. 设集合 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 和 $B_1, B_2, \cdots, B_n$ 是集合 $M$ 的两个 $n$ 一分划, 已知对任意两个交集为空集的集合 $A_i, B_j(1 \leqslant i, j \leqslant n)$, 均有 $\left|A_i \cup B_j\right| \geqslant n$. 求证: $|M| \geqslant \frac{n^2}{2}$. | 分析:由 $A_i 、 B_j$ 的交集为空集,有 $\left|A_i \cup B_j\right|=\left|A_i\right|+\left|B_j\right| \geqslant n$. 当每一个 $\left|A_i\right| \geqslant \frac{n}{2}$ 时, 结论显然成立.
当某个 $\left|A_i\right|$, 不妨设为 $\left|A_1\right|$ 小于 $\frac{n}{2}$ 时, 设 $\left|A_1\right|=k$, 这时与 $A_1$ 相交的 $B_j$ 至多有 $k$ 个; 而至少有 $n-k$ 个集合与 $A_1$ 不相交, 它们每一个的元素个数不小... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter4.tex | proof | 例7. 设自然数集分划成 $r$ 个互不相交的子集: $\mathbf{N}=A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_r$. 求证其中必有某个子集 $A$, 它具有如下性质 $P$ : 存在 $m \in \mathbf{N}$, 使对任何正整数 $k$, 都能找到 $a_1, a_2, \cdots, a_k \in A$, 满足
$$
1 \leqslant a_{j+1}-a_j \leqslant m, j=1,2, \cdots, k-1 .
$$ | 分析:显然具有性质 $P$ 的子集 $A$, 不可能是 $\mathbf{N}$ 的 $r$-分划中的有限集.
不妨设 $\mathbf{N}$ 的 $r$-分划中的无限集为 $A_1, A_2, \cdots, A_{r^{\prime}}$, 令 $B=A_2 \cup A_3 \cup \cdots \cup A_{r^{\prime}}$. 设 $b$ 是集合 $A_{r^{\prime}+1} \cup \cdots \cup A_{r-1} \cup A_r$ 中的最大自然数, 则 $b$ 以后的自然数都在 $N^{\prime}= A_1 \cup B$ 中, 即 $N^{\prime}$ 中存在任意有限长度的相继自然... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter4.tex | proof | 例8. 将正整数集拆分为两个不相交的子集 $A 、 B$, 满足条件:
(1) $1 \in A$;
(2) $A$ 中没有两个不同的元素, 使它们的和形如 $2^k+2(k=0,1,2, \cdots)$;
(3)B 中也没有两个不同的元素, 其和具有上述形式.
证明: 这种拆分可以以唯一的方式实现, 并确定 1987, 1988, 1989 所属的子集. | 分析:对任意的自然数 $n$, 总存在非负整数 $h$, 使 $2^h \leqslant n<2^{h+1}$. 若 $m<n$, 则存在 $n+m=2^h+2$ 或 $n+m=2^{h+1}+2$ 两种可能, 只要将 $n$ 与 $m$ 置于不同的集合即可.
证明因为 $1+2=2^0+2$, 所以 $2 \in B$. 设对小于 $n$ 的数均有惟一的归属, 且满足条件 (1)、(2)、(3). 考虑 $n(n \geqslant 3)$, 总有自然数 $h$, 使
$$
2^h \leqslant n<2^{h+1} .
$$
若 $n=2^h, h>1$, 因 $2 \in B$, 故 $n \in A$. 这时, 对 $... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter4.tex | proof | 例9. 平面上横纵坐标都为有理数的点称为有理点.
求证: 平面上的全体有理点可分成 3 个两两不相交的集合,满足条件:
(i)在以每个有理点为圆心的任一圆内一定包含 3 个点分属这 3 个集合;
(ii)在任何一条直线上都不可能有 3 个点分别属于这 3 个集合. | 分析:由有理数的稠密性知, 以坐标平面上任何点 $D$ 为圆心, 任何正数 $r$ 为半径的圆内都有无数多个有理点.
关键是怎样使这些点分属三个不同的集合, 这似乎比较容易办到.
如果直线 $a x+b y+c=0$ 上有 1 个以上的有理点, 则直线方程化简后的系数必皆为有理数, 这时直线上有无数多个有理点, 如果 3 -分划能使同一直线上的有理点至多属于分划的两个子集, 则问题获解.
证明显然, 任一有理点均可惟一地写成 $\left(\frac{u}{w}, \frac{v}{w}\right)$ 的形式, 其中 $u 、 v 、 w$ 都是整数, $w>0$ 且 $(u, v, w)=1$.
令
$$
\begin{alig... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter5.tex | proof | 例1. 试证: 任一有限集的全部子集可以排定次序, 使得任何相邻的两个子集都相差一个元素. | 分析:不妨设有限集 $A=\{1,2,3, \cdots, n\}$. 先来看一些简单情形:
当 $n=1$ 时,显然可以排成: $\varnothing,\{1\}$;
当 $n=2$ 时,共有 $2^2=4$ 个子集,可排成: $\varnothing,\{1\},\{1,2\},\{2\}$;
当 $n=3$ 时,共有 $2^3=8$ 个子集,可排成: $\varnothing,\{1\},\{1,2\},\{2\},\{2,3\},\{1,2,3\},\{1,3\},\{3\}$.
显然符合条件的排序方式不是惟一的.
请注意 $n=3$ 时的上述排法: 所有子集可分为两组, 前 4 个子集都不含元素 3 ; 后 4 个均含元... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter5.tex | proof | 例2. 在某次竞选中各政党作出 $n$ 种不同的诺言 $(n>0)$, 有些政党可以作某些相同的诺言.
现知其中每两个政党都至少作了一个相同的诺言, 但没有两个政党的诺言完全相同.
求证: 政党个数 $\leqslant 2^{n-1}$. | 证明:设有 $m$ 个政党.
以 $A$ 记所有诺言的集合, $A_i$ 记第 $i$ 个政党的诺言的集合 $(i=1,2, \cdots, m)$. 由题设知
$$
|A|=n, A_i \cap A_j \neq \varnothing, A_i \neq A_j, 1 \leqslant i<j \leqslant m .
$$
因 $\left(\complement_A A_i\right) \cap A_i=\varnothing$, 故 ${ }_A A_i \neq A_j(i, j=1,2, \cdots, m)$, 即 $\complement_A A_i$ 不同于任何一个政党的诺言的集合.
所以
$$
A_1,... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter5.tex | proof | 例3. 设正整数 $n \geqslant 5, n$ 个不同的正整数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 有下列性质: 对集合 $S=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}$ 的任何两个不同的非空子集 $A$ 和 $B, A$ 中所有数的和与 $B$ 中所有数的和都不会相等.
在上述条件下,求
$$
\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}
$$
的最大值. | 分析:因为 $S$ 的任何两个不同的非空子集的各自元素之和不相等, 由集合元素的互异性及正整数二进制表示的惟一性的启示, 似乎集合 $S$ 中的数应是形如 $2^r(r \in \mathbf{N})$ 的数.
下面的工作就是由此展开的.
解不妨设 $a_1<a_2<\cdots<a_n$.
先证明对任意自然数 $k \leqslant n$, 都有
$$
\sum_{i=1}^k a_k \geqslant 2^k-1
$$
用反证法.
若 $\sum_{i=1}^k a_k<2^k-1$, 则 $\left\{a_1, a_2, \cdots, a_k\right\}$ 的每个非空子集的元素和不超过 $2^k-2$. 但 $\l... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter5.tex | proof | 例5. 对于整数 $n(n \geqslant 2)$, 如果存在集合 $\{1,2, \cdots, n\}$ 的子集族 $A_1$, $A_2, \cdots, A_n$ 满足;
(a) $i \notin A_i, i=1,2, \cdots, n$;
(b) 若 $i \neq j, i, j \in\{1,2, \cdots, n\}$, 则 $i \in A_j$, 当且仅当 $j \notin A_i$;
(c) 任意 $i, j \in\{1,2, \cdots, n\}, A_i \cap A_j \neq \varnothing$.
则称 $n$ 是 “好数”.
证明: (1) 7 是好数;
(2)当且仅当 $n... | 分析:对于 $n=7$, 可以作出满足条件的子集族来验证; 当 $n \geqslant 7$ 时, 可考虑用数学归纳法证明.
证明 (1) 当 $n=7$ 时, 取
$$
\begin{aligned}
& A_1=\{2,3,4\}, A_2=\{3,5,6\}, A_3=\{4,5,7\}, \\
& A_4=\{2,6,7\}, A_5=\{1,4,6\}, A_6=\{1,3,7\}, \\
& A_7=\{1,2,5\}
\end{aligned}
$$
即可.
(2) 先证当 $n \geqslant 7$ 时, $n$ 是好数.
对 $n$ 进行归纳.
由 (1) 知, 当 $n=7$ 时, 结论成立.
假设 $n(... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter5.tex | proof | 例6. 集合 $X=\{1,2, \cdots, 6 k\}, k \in \mathbf{N}^*$. 试作出 $X$ 的三元子集族 $\mathscr{A}$, 满足:
(1) $X$ 的任一二元子集至少被族 $\mathscr{A}$ 中的一个三元子集包含;
(2) $|\mathscr{A}|=6 k^2$. | 解:先证明下面的引理:
引理对 $n \in \mathbf{N}^*$, 集合 $X_1=\{1,2, \cdots, 2 n\}$ 的全部二元子集可分成 $2 n-1$ 组, 且每组是 $X_1$ 的一个分划.
引理的证明: 如图(<FilePath:./images/volume1/figures/fig-c5e6.png>),将 $1,2, \cdots, 2 n-1$ 这 $2 n-1$ 个数按顺时针方向放到一个正 $2 n-1$ 边形的顶点上,数 $2 n$ 放在外接圆圆心.
连结 $2 n$ 与 1 , 作 $n-1$ 条以 $2 n-1$ 边形顶点为端点且垂直于 1 与 $2 n$ 连线的线段,便得到 $X_1$ 的... | [
"./images/volume1/figures/fig-c5e6.png"
] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter5.tex | proof | 例7. 集合 $A=\{0,1,2, \cdots, 9\},\left\{B_1, B_2, \cdots, B_k\right\}$ 是 $A$ 的一族非空子集, 当 $i \neq j$ 时, $B_i \cap B_j$ 至多有两个元素.
求 $k$ 的最大值. | 分析:集合 $A$ 的一元、二元、三元子集显然符合要求.
而 $A$ 的任一多于三元的子集 $B^{\prime}$ 必包含了.
$A$ 的三元子集, 故 $B^{\prime}$ 与其包含的三元子集不能同在题中的子集族内.
解首先至多含 3 个元素的 $A$ 的非空子集有
$$
\mathrm{C}_{10}^1+\mathrm{C}_{10}^2+\mathrm{C}_{10}^3=10+\frac{10 \times 9}{2}+\frac{10 \times 9 \times 8}{6}=175 \text { (个). }
$$
这些集合的交集至多有两个元素, 否则两集合相等, 矛盾.
因此 $k_{\max } \geq... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter5.tex | proof | 例9. 设 $n$ 为正整数, 在数集
$$
\{-n,-n+1,-n+2, \cdots,-1,0,1, \cdots, n-1, n\}
$$
中最多选取多少个数, 可使任意三个数的和均不为 0 (三个数可以相同)? | 分析:显然, 当选取的数的绝对值充分大时, 可使任意三个数的和均不为 0 .
解设从题中数集中最多选取 $k$ 个数, 可使任意三个数的和均不为 0 . 考察子集
$$
\left\{-n, \cdots,-\left[\frac{n}{2}\right]-1,\left[\frac{n}{2}\right]+1, \cdots, n\right\},
$$
其中 $[x]$ 表示不超 $x$ 的最大整数.
知当 $n$ 为偶数时, $k \geqslant n$; 当 $n$ 为奇数时, $k \geqslant n+1$.
设 $A=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_m\right\}, B=\left\{b... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter5.tex | proof | 例10. 集合 $A=\{1,2, \cdots, 1997\}$, 对 $A$ 的任意一个 999 元子集 $X$, 若存在 $x, y \in X$, 使得 $x<y$ 且 $x \mid y$, 则称 $X$ 集为好集.
求最大自然数 $a(a \in A)$, 使任一含有 $a$ 的 999 元子集都为好集. | 分析:抓住 $A$ 的 999 元子集 $X_0=\{999,1000, \cdots, 1997\}$ 是关键.
因为 $999 \times 2=1998>1997$, 所以 $a<999$. 考虑集合 $A$ 的这样的元素 $b: 2 b \in X_0$, $3 b \notin X_0$. 易知 $b=666+i, i=0,1, \cdots, 332$. 由 $B_i=\{666+i\} \cup X_0 \backslash \{2(666+i)\}, i=0,1, \cdots, 332,\left|B_i\right|=999$, 知 $a \leqslant 665$.
解我们证明 $\max a=665$.
先... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter6.tex | proof | 例1. 已知数集 $M$ 至少有 3 个元素, 且对 $M$ 中任何两个不同的元素 $a 、 b$, 数 $a^2+b \sqrt{2}$ 都是有理数,证明: 对于 $M$ 中任何数 $a$,数 $a \sqrt{2}$ 都是有理数. | 分析:设 $a, b \in M$ 且 $a \neq b$, 则 $a^2+b \sqrt{2} \in \mathbf{Q}, b^2+a \sqrt{2} \in \mathbf{Q}$. 于是有 $a^2+ b \sqrt{2}-\left(b^2+a \sqrt{2}\right)=\frac{1}{2}(a \sqrt{2}-b \sqrt{2})(a \sqrt{2}+b \sqrt{2}-2) \in \mathbf{Q}$. 若能证明 $a \sqrt{2}- b \sqrt{2} \in \mathbf{Q}$ 或 $a \sqrt{2}+b \sqrt{2} \in \mathbf{Q}$, 则问题迎刃而解.
... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter6.tex | proof | 例2. 设 $\alpha=\frac{r}{s}$, 这里 $r 、 s$ 是正整数,且 $r>s,(r, s)=1$. 令集合
$$
N_\alpha=\{[n \alpha] \mid n=1,2, \cdots\} .
$$
求证：对任何 $m \in N_\alpha, r \nmid m+1$. | 分析:$n \alpha=n \cdot \frac{r}{s}$. 当 $s=1$ 时, 结论显然成立.
当 $s>1$ 时, 若 $1 \leqslant n \leqslant s-1$, 由 $\frac{r}{s}>1$ 知, $1 \leqslant n \alpha \leqslant r-\frac{r}{s}<r-1$, 即 $1 \leqslant[n \alpha]<r-1$, 结论成立; 若 $n \geqslant s$, 令 $n=q s+k\left(0 \leqslant k \leqslant s-1, q \in \mathbf{N}^*\right)$, 则 $n \alpha=q r+k \a... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter6.tex | proof | 例3. 在平面上给定无穷多个点, 已知它们之间的距离都是整数, 求证这些点都在一条直线上. | 分析:“无穷” 和“整数” 是两个关键词, 去其一, 则结论不成立.
下面我们就是利用这两点“制造”矛盾来反证结论成立.
证明若不然, 则存在三点 $A 、 B 、 C$, 使三点不共线且 $A B=r$ 和 $A C=s$ 都是整数.
设点 $P$ 是任一给定点, 则由三角不等式有
$$
|P A-P B| \leqslant A B=r,
$$
即 $|P A-P B|$ 是整数 $0,1,2, \cdots, r$ 中之一.
因此, 点 $P$ 或位于直线
$H_0=$ 直线 $A B$ 的垂直平分线,
$H_r=$ 直线 $A B$
之一上,或落在双曲线
$$
H_i=\{X|| X A-X B \mid=i\}, i=1,... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter6.tex | proof | 例4. 设 $M$ 为一个无限的有理数集, 满足: $M$ 的任意一个 2009 元子集的元素之积为一个整数,且这个整数不能被任何质数的 2009 次幕整除.
证明: $M$ 的元素均为整数. | 分析:这里的“2009”并不是一个关键的数字, 与上例一样, 我们还是得围绕“无限”做文章.
证明设 $a_1, a_2, \cdots, a_{2008} \in M$. 记
$$
A=a_1 a_2 \cdots a_{2008}=\frac{p}{q},(p, q)=1 .
$$
假设 $M$ 中包含了无数多个形如
$$
\alpha_i=\frac{p_i}{q_i},\left(p_i, q_i\right)=1, q_i>1
$$
的数, 且 $\alpha_i \neq a_1, a_2, \cdots, a_{2008}$. 由于
$$
\alpha_i \cdot A=\alpha_i a_1 a_2 \cdots... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter6.tex | proof | 例5. 三维空间中所有整点 (3 个坐标都为整数的点) 的集合记为 $T$. 两个整点 $(x, y, z)$ 和 $(u, v, w)$ 当且仅当 $|x-u|+|y-v|+|z-w|=1$ 时称为相邻.
求证: 存在 $T$ 的一个子集 $S$, 使对每个 $P \in T$, 点 $P$ 以及 $P$ 的所有邻点中恰有一点属于 $S$. | 分析:设 $(u, v, w) \in T$, 它的 6 个邻点分别为 $(u \pm 1, v, w),(u, v \pm 1$, $w),(u, v, w \pm 1)$. 若函数 $f(x, y, z)$ 在以上 7 点的函数值为整数, 且除以 7 的余数都不相同,则原题获证.
事实上, 取 $f=x+2 y+3 z$ 即可.
证明显然, 两个整点相邻, 当且仅当两点的各 3 个坐标中的两对分别相等,而第 3 个坐标相差 1 .
令 $\quad S=\{(x, y, z)\mid \, 7 | x+2 y+3 z\}$,
则 $S$ 满足题中要求.
事实上, 对于任何 $(u, v, w) \in T$, 它有 6 个邻点 ... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter6.tex | proof | 例6. 设 $A \subset \mathrm{N}^*$ 是无限集, $A$ 中每个数 $a$ 是至多 1990 个质数的乘积.
证明: 必有.
$A$ 的无限子集 $B$, 使得 $B$ 中任何两个不同数的最大公约数都相同. | 分析:如果 $A$ 中含有无限多个两两互质的整数, 则结论显然成立.
否则, 存在质数 $p_1$ 为 $A$ 的无限多个数的因数, 故 $A_1=\left\{\frac{a}{p_1} \mid \frac{a}{p_1} \in \mathbf{Z}, a \in A\right\}$ 为无限集.
若 $A_1$ 中含有无限多个两两互质的整数, 则结论亦成立.
否则, 继续上面的步骤.
证明如果 $A$ 中含有无限多个两两互质的正整数, 将它们全部选出作成子集 $B$, 则结论成立.
若存在质数 $p_1$ 为 $A$ 中无限多个数的因数,则集合
$$
A_1=\left\{\frac{a}{p_1} \mid \frac{a... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter6.tex | proof | 例7. 记 $\mathbf{Q}$ 为有理数集合, $\mathbf{Q}$ 的非空子集 $S$ 具有以下性质:
(1) $0 \notin S$;
(2) 若 $s_1 \in S, s_2 \in S$, 则 $s_1 / s_2 \in S$;
(3) 存在一非零有理数 $q, q \notin S$, 且每一个不在 $S$ 中的非零有理数都可写成 $q s$ 的形式,其中 $s \in S$.
证明: 若 $x \in S$, 则存在 $y, z \in S$, 使 $x=y+z$. | 分析:设 $\alpha, \beta \in \mathbf{Q}$, 且 $\alpha+\beta=1$, 则
$$
x=x(\alpha+\beta)=x \alpha+x \beta .
$$
我们希望出现: $x \alpha \in S$ 且 $x \beta \in S$. 由(3)似乎应该有 $\alpha, \beta \in S$. 于是我们要解决两个问题: (1) 怎样的 $\alpha$ 、必定属于 $S$; (2) 如 $x_1 \in S, x_2 \in S$, 则 $x_1 x_2 \in S$.
证明假设 $s \in S$. 令 $s_1=s_2 \in S$, 则 $s_1 / s_2=1 \... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter6.tex | proof | 例8. 证明: 对任意的 $n \in \mathbf{N}, n \geqslant 2$, 都存在 $n$ 个互不相等的自然数组成的集合 $M$, 使得对任意的 $a \in M$ 和 $b \in M$, 都有 $(a-b) \mid(a+b)$. | 分析:设 $a_1<a_2<\cdots<a_n$ 为 $M$ 的 $n$ 个元素, 我们用归纳的方法来构造这些元素.
当 $n=2$ 时,取 $a_1=1, a_2=2$ 即可.
假设 $n=k$ 时, $k$ 个元素 $a_1<a_2<\cdots<a_k$ 组成的集合符合要求.
当 $n=k+1$ 时则取如下 $k+1$ 个数
$$
a_{k} !, a_{k} !+a_1, a_{k} !+a_2, \cdots, a_{k} !+a_k,
$$
组成的集合符合要求.
事实上,
$$
\frac{\left(a_{k} !+a_i\right)+a_{k} !}{\left(a_{k} !+a_i\right)-a_{k} ... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter6.tex | proof | 例9. 平面上整点的集合 $M=\{(x, y) \mid x, y \in \mathbf{Z}$, 且 $1 \leqslant x \leqslant 12,1 \leqslant y \leqslant 13\}$. 证明: 不少于 49 个点的 $M$ 的每一个子集, 必包含一个矩形的 4 个顶点, 且此矩形的边平行于坐标轴. | 分析:设 $S$ 为 $M$ 的任一个 49 元子集.
其中纵坐标相同的点的横坐标的集合为:
$$
X_i=\{x \mid(x, i) \in S\}, i=1,2, \cdots, 13 .
$$
若存在关于整点横坐标的二元集 $(r, s)$ 同时是 $X_i 、 X_j \quad(i \neq j)$ 的子集, 则原题得证.
证明设 $S$ 为 $M$ 的任一个 49 元子集.
令
$$
X_i=\{x \mid(x, i) \in S\}, i=1,2, \cdots, 13,
$$
则 $\left|X_i\right|=x_i, \sum_{i=1}^{13} x_i=49,0 \leqslant x_i \leqs... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter6.tex | proof | 例10. 设 $S=\{1,2, \cdots, 17\}$, 而 $\left\{a_1, a_2, \cdots, a_8\right\}$ 为 $S$ 的一个 8 元子集.
求证:
(1) 存在 $k \in \mathbf{N}^*$, 使得方程 $a_i-a_j=k$ 至少有 3 组不同的解;
(2) 对于 $S$ 的 7 元子集 $\left\{a_1, a_2, \cdots, a_7\right\}$,(1) 中的结论不再总是成立. | 分析:(1) 不妨设 $a_1<a_2<\cdots<a_8$, 则
$$
a_8-a_1=\left(a_8-a_7\right)+\left(a_7-a_6\right)+\cdots+\left(a_2-a_1\right) \leqslant 16 .
$$
若上式中间 7 个括号中没有 3 个两两相等, 那么必各有两个分别等于 1 、 $2 、 3$, 一个等于 4 .
(2) 作出一个使 (1) 中结论不成立的 7 元子集即可.
证明 (1) 若不然,则存在 $S$ 的一个 8 元子集 $\left\{a_1, a_2, \cdots, a_8\right\}$,使对任何 $k \in \mathbf{N}^*$,方程 ... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter7.tex | proof | 例5. 证明: 任何一个三角形可以被分割成三个多边形(包括三角形), 其中之一为钝角三角形, 且能重新拼为一个矩形 (多边形允许被翻转). | 解:若 $\triangle A B C$ 为等腰三角形(如图(<FilePath:./images/volume1/figures/fig-c7e5-1.png>)), 且 $A B=A C$, 则取底边中点 $D$ 和底边另一点 $E$, 连结顶点和底边上这两个点, 把三角形分为三部分, 易知其中 $\triangle A E C$ 为钝角三角形, 且能按照图(<FilePath:./images/volume1/figures/fig-c7e5-2.png>)拼成矩形.
若 $\triangle A B C$ 为非等腰三角形(如图(<FilePath:./images/volume1/figures/fig-c7e5-3.pn... | [
"./images/volume1/figures/fig-c7e5-1.png",
"./images/volume1/figures/fig-c7e5-2.png",
"./images/volume1/figures/fig-c7e5-3.png",
"./images/volume1/figures/fig-c7e5-4.png"
] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter7.tex | proof | 例9. 设 $S$ 为集合 $\{1,2, \cdots, 50\}$ 的具有下列性质的子集, $S$ 中任意两个不同的元素之和不被 7 整除.
则 $S$ 中的元素最多可能有几个? | 解:将 $\{1,2, \cdots, 50\}$ 按照模 7 分成 7 类:
$$
\begin{aligned}
& K_1=\{1,8,15,22,29,36,43,50\}, \\
& K_2=\{2,9,16,23,30,37,44\}, \\
& K_3=\{3,10,17,24,31,38,45\}, \\
& K_4=\{4,11,18,25,32,39,46\}, \\
& K_5=\{5,12,19,26,33,40,47\}, \\
& K_6=\{6,13,20,27,34,41,48\}, \\
& K_0=\{7,14,21,28,35,42,49\} .
\end{aligned}
$$
下面证明 $S... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter7.tex | proof | 例10. 设 $n 、 m 、 k$ 都是自然数, 且 $m \geqslant n$. 证明: 如果
$$
1+2+\cdots+n=m k,
$$
则可将数 $1,2, \cdots, n$ 分成 $k$ 组, 使每一组数的和都等于 $m$. | 证明:对 $n$ 进行归纳.
当 $n=1$ 时,结论显然成立.
假设对一切小于 $n$ 的自然数结论成立, 我们来考察集合 $S_n=\{1$, $2, \cdots, n\}$ 的情形.
如果 $m=n$, 那么 $\frac{1}{2}(n+1)=k$ 为整数, 于是可按如下方式分组:
$$
\{n\},\{1, n-1\},\{2, n-2\}, \cdots,\left\{-\frac{1}{2}(n-1), \frac{1}{2}(n+1)\right\} .
$$
如果 $m=n+1$, 那么 $n=2 k$ 为偶数, 则分组方式具有形式:
$$
\{1, n\},\{2, n-1\}, \cdots,\left\{\... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter8.tex | proof | 例1. 已知 $S_1 、 S_2 、 S_3$ 为非空整数集合, 且对于 $1 、 2 、 3$ 的任意一个排列 $i 、 j 、 k$, 若 $x \in S_i, y \in S_j$, 则 $x-y \in S_k$.
(1) 证明: $S_1 、 S_2 、 S_3$ 三个集合中至少有两个相等.
(2) 这三个集合中是否可能有两个集合无公共元素? | 证明:(1)由已知,若 $x \in S_i, y \in S_j$, 则
$$
y-x \in S_k,(y-x)-y=-x \in S_i,
$$
所以每个集合中均有非负元素.
当三个集合中的元素都为零时, 命题显然成立.
否则, 设 $S_1 、 S_2 、 S_3$ 中的最小正元素为 $a$, 不妨设 $a \in S_1$. 设 $b$ 为 $S_2 、 S_3$ 中最小的非负元素, 不妨设 $b \in S_2$, 则 $b-a \in S_3$.
若 $b>0$, 则 $0 \leqslant b-a<b$, 与 $b$ 的取法矛盾.
所以 $b=0$.
任取 $x \in S_1$, 因 $0 \in S_2$, 故... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter8.tex | proof | 例2. 设 $n$ 元集合 $X$ 的某些三元子集组成集合 $S$, 且 $S$ 中每两个元素(子集)之间至多有 1 个公共元素.
试证: 存在集合 $A \subset X$, 使得 $|A| \geqslant[\sqrt{2 n}]$, 且 $S$ 中的任何元素都不是 $A$ 的子集. | 分析:依题设 $X$ 的三元子集族 $S$ 显然没有包含 $X$ 的全部三元子集, 故存在 $X$ 的不包含 $S$ 中任何元素 ( $X$ 的三元子集) 的子集, 毫无疑问应选取其中元素最多者来做 $A$.
证明设在 $X$ 的不包含 $S$ 中任何元素的子集中, $A$ 是元素数目最多的一个, $|A|=a$. 对于每个 $x \in X-A, A \cup\{x\}$ 中必包含 $S$ 中的一个元素, 否则与 $a$ 的最大性矛盾.
设 $x, y \in X-A, x \neq y$, 则 $A \cup\{x\}$ 与 $A \cup\{y\}$ 分别包含 $S$ 中的元素 $s(x)$ 和 $s(y)$. 显然, $s(... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter8.tex | proof | 例3. 某地区网球俱乐部的 20 名成员举行 14 场单打比赛, 每人至少上场一次.
求证: 必有六场比赛, 其 12 个参赛者各不相同. | 证明:记参加第 $j$ 场比赛的选手为 $\left(a_j, b_j\right)$, 并记
$$
S=\left\{\left(a_j, b_j\right) \mid j=1,2, \cdots, 14\right\} .
$$
设 $M$ 为 $S$ 的一个子集.
如果 $M$ 中所含选手对中出现的选手互不相同, 则称 $M$ 为 $S$ 的一个“好”子集.
显然, 这样的“好”子集只有有限个, 其中必有一个元素最多的, 设这个元素最多的“好”子集为 $M_0$, 它的元素个数为 $r$, 显然只需证明 $r \geqslant 6$.
如果 $r \leqslant 5$, 由于 $M_0$ 是元素个数最多的“好” 子集,... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter8.tex | proof | 例4. 已知 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是实数, $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 和 $b_1, b_2, \cdots, b_n$ 均是正整数, 令
$$
\begin{aligned}
& a=\frac{a_1 x_1+a_2 x_2+\cdots+a_n x_n}{a_1+a_2+\cdots+a_n}, \\
& b=\frac{b_1 x_1+b_2 x_2+\cdots+b_n x_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n} .
\end{aligned}
$$
求证: 在 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 中必存在两个数 $x_i 、 x_j$, 使 $|a-b|... | 分析:要证明存在 $x_i$ 使 $|a-b| \leqslant\left|a-x_i\right|$ 成立, 自然要在 $\left|a-x_1\right|$, $\left|a-x_2\right|, \cdots,\left|a-x_n\right|$ 中取最大者来做 $\left|a-x_i\right|$. 同样的, 对于存在 $x_i 、 x_j$ 使 $\left|a-x_i\right| \leqslant\left|x_j-x_i\right|$ 的证明, $\left|x_j-x_i\right|$ 应取 $\left|x_1-x_i\right|,\left|x_2-x_i\right|, \cdots, ... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter8.tex | proof | 例5. 求方程
$$
x^4+4 y^4=2\left(z^4+4 u^4\right)
$$
的整数解. | 分析:本例可以运用无穷递降法来解.
设 $(x, y, z, u)$ 是方程的一组解, 且其中 $x$ 是所有解中取最小正整数者, 我们就让 “无穷递降” 的过程从此开始, 看看后面会出现什么情况.
解显然, 方程(1)有解
$$
x=y=z=u=0 .
$$
我们证明这是方程(1)的惟一一组整数解.
若 ( $x, y, z, u)$ 是方程(1)的解, 则 ( $|x|, y, z, u)$ 必是方程 (1) 的解.
故不妨设 ( $x, y, z, u)$ 是方程 (1) 的所有解中 $x$ 取最小正整数者.
易知, $x$ 为偶数.
设 $x=2 x_1, x_1 \in \mathbf{N}^*$, 则有
$$
\begi... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter8.tex | proof | 例6. 已知正整数 $a$ 和 $b$ 使得 $a b+1$ 整除 $a^2+b^2$, 求证 $\frac{a^2+b^2}{a b+1}$ 是某个正整数的平方. | 证明:令 $A=\left\{(a, b)\left|a, b \in \mathbf{N}^*, a \geqslant b, a b+1\right| a^2+b^2\right\}$. 本题的结论是: 对所有 $(a, b) \in A$, 都有
$$
f(a, b)=\frac{a^2+b^2}{a b+1}=k^2\left(k \in \mathbf{N}^*\right) .
$$
记 $B=\left\{(a, b) \mid(a, b) \in A\right.$, 且 $\left.f(a, b) \neq k^2, k \in \mathbf{N}^*\right\}$. 我们只需证明 $B=\varnothi... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter8.tex | proof | 例7. 在平面上有 $n$ 个 $(n \geqslant 2)$ 不全共线的点.
试证: 一定存在一条直线恰好通过这 $n$ 个点中的两个点. | 分析:假设结论不成立.
不妨设其中三点 $A$ 、 $B 、 C$ 都在直线 $l$ 上, 且 $B$ 在 $A 、 C$ 之间, $D$ 为 $l$ 外一点, 如图(<FilePath:./images/volume1/figures/fig-c8e7-1.png>),作 $D P_1 \perp A C$. 不妨设 $A 、 B$ 在 $P_1$ 的同侧, 再作 $B P_2 \perp A D$. 易知 $D P_1>B P_2$. 如直线 $A D$ 上还有第三点 $E$, 不妨设 $D 、 E$ 在 $P_2$ 的同侧, 且 $D P_2>E P_2$, 作 $E P_3 \perp B D$, 则 $B P_2> E P... | [
"./images/volume1/figures/fig-c8e7-1.png",
"./images/volume1/figures/fig-c8e7-2.png"
] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter8.tex | proof | 例8. 在某个星系的每一个星球上, 都有一位天文学家在观测最近的星球.
若每两个星球间的距离都不相等, 证明: 当星球的个数为奇数时, 一定有一个星球任何人都看不到. | 证明:设有 $n$ 个星球 (同时也表示 $n$ 个天文学家) $A_1, A_2, \cdots, A_n, n$ 为奇数.
这些星球两两之间的距离所成的集合是有限集, 故必有最小值, 不妨设 $A_1 A_2$ 最小.
除 $A_1 、 A_2$ 外还有 $n-2$ 个星球和 $n-2$ 位天文学家.
假若他们当中至少有一位看见已选出的星球.
例如 $A_3$ 看见 $A_2$, 如果谁也看不见 $A_3$, 则结论成立; 否则还有一位天文学家如 $A_4$ 可看见 $A_3$. 如果谁也看不见 $A_4$, 结论同样成立; 否则还有一位天文学家如 $A_5$ 可看见 $A_4$. 仿此下去.
由于上述过程中前面星球上的天文学家... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter8.tex | proof | 例9. 平面上已给出 997 个点, 将连结每两点的线段的中点染成红色.
证明至少有 1991 个红点.
能否找到恰有 1991 个红点的点集? | 证明:由 997 个点连结每两点的线段只有有限条, 所以必有一条最长者.
设 $A B$ 为诸线段中的最长者.
$A$ 与其他 996 个点连结的线段的中点均在以 $A$ 为圆心, $\frac{1}{2} A B$ 为半径的圆的内部或圆周上.
$B$ 与其他 996 个点连结的线段的中点均在以 $B$ 为圆心, $\frac{1}{2} A B$ 为半径的圆的内部或圆周上.
所以至少有
$$
2 \times 996-1=1991
$$
个中点, 即有 1991 个红点.
下面我们构造恰有 1991 个红点的 997 个点的点集:
在 $x$ 轴上取 997 个点,坐标分别为 $1,2, \cdots, 997$, 则区间 $(1... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter8.tex | proof | 例10. 若干名儿童围成一圈, 他们手中都拿有一些糖块.
规定进行如下传递, 每次传递的方法是: 如果某人手中糖块数是奇数, 则他可再领取一块, 然后每人都把手中糖块的一半传给右边的小朋友.
求证: 一定可以经过若干次传递,使得所有儿童手中的糖块数都相同. | 分析:由题设知, 在每次传递前, 每个儿童手中都有偶数块糖, 其中必有最多者和最少者.
证明不妨设某次传递前手中糖块数最多的人有 $2 m$ 块, 最少的有 $2 n$ 块, $m>n$. 进行一次传递后, 结果是
(1) 传递后每人手中的糖块数仍在 $2 n$ 与 $2 m$ 之间;
(2) 原来手中糖块数超过 $2 n$ 块的,传递后仍然超过 $2 n$ 块;
(3) 至少有一名原来糖块数为 $2 n$ 的孩子,传递后糖块数超过了 $2 n$.
事实上, 圈子中至少有一名拿 $2 n$ 块糖的孩子的左邻手中糖块数为 $2 h> 2 n$. 传递之后, 原拿 $2 n$ 块糖的孩子手中的糖块数变为 $n+h>2 n$.
由于每传递... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter8.tex | proof | 例11. 在 $n$ 名选手参加的循环赛中, 每两人比赛一场 (无平局). 试证下列两种情形恰有一种发生:
(1) 可将所有选手分成两个非空集合,使得一个集合中的任何一名选手都战胜另一个集合中的所有选手;
(2) 可将 $n$ 名选手从 1 到 $n$ 编号, 使得第 $i$ 名选手战胜第 $i+1$ 名选手, $i=1,2, \cdots, n$, 其中将 $n+1$ 理解为 1 . | 证明:显然, (1) 和 (2) 不能同时出现, 以下证明 (1) 和 (2) 至少有一种出现.
设选手 $A$ 胜场最多.
若 $A$ 战胜其他所有选手, 则 (1) 成立, 否则必有选手 $C$ 胜 $A$. 因 $A$ 胜场最多, 故必有负于 $A$ 的选手 $B$ 战胜 $C$, 于是得到一个选手圈 $\{A, B, C\}: A$ 胜 $B, B$ 胜 $C, C$ 胜 $A$.
设这样的圈中含选手数最多的其中之一为 $\left\{A_1, A_2, \cdots, A_m\right\}$, 其中 $A_1$ 胜 $A_2, A_2$ 胜 $A_3, \cdots, A_{m-1}$ 胜 $A_m, A_m$ 胜 $A... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter9.tex | proof | 例4. 设 $Z$ 是平面上由 $n(>3)$ 个点组成的点集, 其中任三点不共线, 又设自然数 $k$ 满足不等式 $\frac{n}{2}<k<n$. 如果 $Z$ 中的每个点都至少与 $Z$ 中的 $k$ 个点有线段相连,证明: 这些线段中一定有三条线段构成三角形的三边. | 证明:因为 $k>\frac{n}{2}>\frac{3}{2}$, 所以 $k \geqslant 2$, 即每个点都至少与 $Z$ 中 2 个点有线段相连.
不妨设 $A B$ 为 $Z$ 中点连成的线段.
令
$$
\begin{aligned}
& M=\{P \mid P \in Z, P \text { 与 } A \text { 有线段相连 }\}-\{B\}, \\
& N=\{P \mid P \in Z, P \text { 与 } B \text { 有线段相连 }\}-\{A\} .
\end{aligned}
$$
由于 $Z$ 中任一点至少引出 $k$ 条线段, 所以有 $|M| \geqslant k-... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter9.tex | proof | 例7. 若 $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_m=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}$, 且 $A_1, A_2, \cdots, A_m$ 均为非空集合, 则集合 $A_1, A_2, \cdots, A_m$ 的组数为
$$
g(m, n)=\sum_{k=0}^{m-1}(-1)^k \mathrm{C}_m^k\left(2^{m-k}-1\right)^n .
$$ | 证明:对于 $A_1 \cup A_2 \cdots \cup A_m=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}$, 如果对任意正整数 $k$ (其中 $1 \leqslant k \leqslant m-1$ ), 在 $A_1, A_2, \cdots, A_m$ 中至少有 $k$ 个集合为空集, 先确定出 $k$ 个空集, 确定的方式有 $\mathrm{C}_m^k$ 种.
对每一种方式确定出的 $k$ 个空集, 都有剩下的 $m-k$ 个集合.
不妨设它们为 $A_1^{\prime}, A_2^{\prime}, \cdots, A_{m-k}^{\prime}$, 它们的并集仍是 $\l... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter9.tex | proof | 例9. 设 $p_i(i=1,2, \cdots, m)$ 为正整数 $n$ 的全部质因数.
求证:
$$
\varphi(n)=n \prod_{i=1}^m\left(1-\frac{1}{p_i}\right) .
$$ | 证明:记 $S=\{1,2, \cdots, n\}$, 并设
$$
A_i=\left\{a\left|a \in S, p_i\right| a\right\}, i=1,2, \cdots, m .
$$
则 $\varphi(n)=\left|\bigcap_{i=1}^m \complement_S A_i\right|$. 注意到
$$
\begin{aligned}
& \left|A_i\right|=\left[\frac{n}{p_i}\right],\left|A_i \cap A_j\right|=\left[\frac{n}{p_i p_j}\right], \cdots, \\
& \left|A_1 \... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/chapter9.tex | proof | 例10. 对于整数 $n \geqslant 4$, 求出最小的整数 $f(n)$, 使得对于任何正整数 $m$, 集合 $\{m, m+1, \cdots, m+n-1\}$ 的任一个 $f(n)$ 元子集中, 均有至少 3 个两两互素的元素. | 解:当 $n \geqslant 4$ 时, 记 $M=\{m, m+1, m+2, \cdots, m+n-1\}$.
易知, 若 $2 \mid m$, 则 $m+1, m+2, m+3$ 两两互素; 若 $2 \times m$, 则 $m, m+1$, $m+2$ 两两互素.
于是, $M$ 的所有 $n$ 元子集中, 均有至少 3 个两两互素的元素, 因此 $f(n)$ 存在, 且 $f(n) \leqslant n$.
设 $T_n=\{t \mid t \leqslant n+1$ 且 $2 \mid t$ 或 $3 \mid t\}$, 则 $T_n$ 为 $\{2,3, \cdots, n+1\}$ 的子集, 但 ... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise1.tex | proof | 问题13: 设 $E=\{1,2,3, \cdots, 200\}, G=\left\{a_1, a_2, a_3, \cdots, a_{100}\right\} \subseteq E$, 且 $G$ 具有下列两条性质:
(1)对任何 $1 \leqslant i<j \leqslant 100$, 恒有 $a_i+a_j \neq 201$;
(2) $\sum_{i=1}^{100} a_i=10080$.
试证明: $G$ 中的奇数的个数是 4 的倍数, 且 $G$ 中所有数字的平方和为一个定数. | 解: 由已知得 $\sum_{k=1}^{200} k^2=\sum_{i=1}^{100} a_i^2+\sum_{i=1}^{100}\left(201-a_i\right)^2=2 \sum_{i=1}^{100} a_i^2-402 \sum_{i=1}^{100} a_i+201^2 \times 100$. 由 (2) 及上式得 $\sum_{i=1}^{100} a_i^2$ 为常数.
设 $G$ 中有 $x$ 个奇数, 则由上式可得 $4 \equiv 2 x-0+4(\bmod 8)$, 故 $x \equiv 0(\bmod 4)$. | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise1.tex | proof | 问题15: 考虑实数 $x$ 在 3 进制中的表达式.
$K$ 是区间 $[0,1]$ 内所有这样的数 $x$ 的集合,并且 $x$ 的每位数字是 0 或 2. 如果 $S=\{x+y \mid x, y \in K\}$, 求证: $S=\{z \mid 0 \leqslant z \leqslant 2\}=[0,2]$. | 解: 在 $K$ 内 $x$ 和 $y$ 的每位数字是 0 或 2 , 因此, $\frac{x}{2}$ 和 $\frac{y}{2}$ 的每位数字是 0 或 1 , 从而 $\frac{x}{2}+\frac{y}{2}$ 的每位数字在 3 进制下是 $0 、 1$ 或 2 , 并且由 $x \in[0,1]$, $y \in[0,1]$ 可知 $\frac{x}{2}+\frac{y}{2} \in[0,1]$. 反过来, 对于 $[0,1]$ 上的任何一个数, 它在 3 进制下的每位数字是 $0 、 1$ 或 2 , 显然可以写成两个在 3 进制下每位数字是 0或 1 的数的和.
也就是说, 都可以写成 $\frac{x}{... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise1.tex | proof | 问题16: 设 $S=\{1,2,3,4\}, n$ 项的数列: $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 有如下性质: 对于 $S$ 的任何一个非空子集 $B(B$ 的元素个数记为 $|B|)$, 在该数列中有相邻的 $|B|$项恰好组成集合 $B$. 求 $n$ 的最小值. | 解: 首先证明 $s$ 中的每个数在数列 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 中至少出现 2 次.
事实上, 若 $s$ 中的某个数在这个数列中只出现一次, 由于含这个数的二元子集共有 3 个, 但在数列中含这个数的相邻两项至多有两种取法, 因此不可能 3 个含这个数的二元子集都在数列相邻两项中出现.
矛盾.
由此可得, $n \geqslant 8$. 另一方面, 数列 $3,1,2,3,4,1,2,4$ 满足题设条件, 且只有 8 项.
所以, $n$ 的最小值为 8 . | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise1.tex | proof | 问题18: 设 $S$ 为满足下列条件的有理数集合:
(1) 若 $a \in S, b \in S$, 则 $a+b \in S, a b \in S$;
(2) 对任一个有理数 $r, 3$ 个关系 $r \in S 、-r \in S 、 r=0$ 中有且仅有一个成立.
证明: $S$ 是由全体正有理数组成的集合. | 解: 对任意的 $r \in \mathbf{Q}, r \neq 0$, 由 (2) 知 $r \in S,-r \in S$ 之一成立.
再由 (1), 若 $r \in S$, 则 $r^2 \in S$; 若 $-r \in S$, 则 $r^2=(-r) \cdot(-r) \in S$. 总之, 对任意的非零 $r \in \mathbf{Q}$ 均有 $r^2 \in S$. 取 $r=1$, 则 $1=1^2 \in S$. 由 (1), $2=1+1 \in S, 3=1+ 2 \in S, \cdots$, 可知全体正整数都属于 $S$. 设 $p, q \in \mathbf{N}$, 由 (1), $p q ... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise1.tex | proof | 问题19: $S_1 、 S_2 、 S_3$ 为非空整数集合, 对于 $1 、 2 、 3$ 的任意一个排列 $i 、 j 、 k$, 若 $x \in S_i, y \in S_j$, 则 $y-x \in S_k$.
(1) 证明: 3 个集合中至少有两个相等.
(2) 3 个集合中是否可能有两个集合无公共元素? | 解: (1) 由已知, 若 $x \in S_i, y \in S_j$, 则 $y-x \in S_k,(y-x)-y= -x \in S_i$, 所以每个集合中均有非负元素.
当三个集合中的元素都为零时,命题显然成立.
否则, 设 $S_1 、 S_2 、 S_3$ 中的最小正元素为 $a$, 不妨设 $a \in S_1$. 设 $b$ 为 $S_2 、 S_3$ 中最小的非负元素, 不妨设 $b \in S_2$. 则 $b-a \in S_3$. 若 $b>0$, 则 $0 \leqslant b- a<b$, 与 $b$ 的取法矛盾, 所以 $b=0$. 任取 $x \in S_1$, 因 $0 \in S_2$, 故 ... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise1.tex | proof | 问题20: 若 $x \geqslant 1, x^x=x_0, x_0 \in\left(k^k,(k+1)^{(k+1)}\right) \cap \mathbf{Q}$, 其中 $k \in \mathbf{N}^*$. 求证: $x \in \mathbf{Q}^C$. (其中, $\mathbf{Q}$ 为有理数集, $\mathbf{Q}^C$ 为无理数集) | 解: 因为当 $x_2 \geqslant x_1 \geqslant 1$ 时, 有 $x_2^{x_2} \geqslant x_1^{x_2} \geqslant x_1^{x_1}$. 所以 $y=x^x$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增.
所以 $x^x=x_0$ 在 $[1,+\infty)$ 上有且仅有一解, 且 $x \in(k, k+1)$. 假设 $x^x=x_0$ 的解为有理数, 可设 $x=\frac{n}{m}, m, n \in \mathbf{N}^*,(m, n)=1$, 且 $m \neq 1$;$p, q \in \mathbf{R}^{+},\left(\frac{q}{p}\rig... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise2.tex | proof | 问题12 设 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列, $d$ 为公差, 且 $a_1$ 和 $d$ 均为实数, $d \neq 0$, 它的前 $n$ 项和记作 $S_n$. 设集合 $A=\left\{\left(a_n, \frac{S_n}{n}\right) \mid n \in \mathbf{N}^*\right\}, B=\{(x, y) \mid \frac{1}{4} x^2-y^2= 1, x, y \in \mathbf{R}\}$. 下列结论是否正确? 如果正确, 请给出证明; 如果不正确, 请举一个例子说明:
(1) 以集合 $A$ 中的元素为坐标的点都在同一直线上;
(2) $A \cap... | (1) 正确.
因 $S_n=\frac{\left(a_1+a_n\right)^n}{2}$, 所以 $\frac{S_n}{n}=\frac{a_1+a_n}{2}$. 这说明点 $\left(a_n, \frac{S_n}{n}\right)$ 在直线 $y=\frac{a_1+x}{2}$ 上.
(2) 正确.
设 $(x, y) \in A \cap B$, 则 $y=\frac{a_1+x}{2}$, 且 $\frac{1}{4} x^2-y^2=1$. 消去 $y$, 得 $2 a_1 x+a_1^2=-4$. 当 $a_1=0$ 时, 方程组无解; 当 $a_1 \neq 0$ 时, $x=\frac{-4-a_1... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise2.tex | proof | 问题15 设 $Z$ 表示所有整数的集合.
对于固定的 $A, B, C \in \mathbf{Z}$, 令
$$
\begin{aligned}
& M_1=\left\{x^2+A x+B \mid x \in \mathbf{Z}\right\}, \\
& M_2=\left\{2 x^2+2 x+C \mid x \in \mathbf{Z}\right\},
\end{aligned}
$$
求证: 对任何 $A, B \in \mathbf{Z}$, 都可选取 $C \in \mathbf{Z}$, 使得集合 $M_1$ 与 $M_2$ 互不相交. | 如果 $A$ 为奇数, 则有 $x(x+A)+B \equiv B(\bmod 2)$, 这表明 $M_1$ 中的所有数都与 $B$ 奇偶性相同.
对于 $M_2$ 中的数, 有 $2 x(x+1)+C \equiv C(\bmod 2)$. 可见, 为使 $M_1 \cap M_2=\varnothing$, 只须取 $C=B+1$ 即可.
如果 $A$ 为偶数, 则有 $2 x(x+1)+C \equiv C(\bmod 4)$. 又因 $\left(x+\frac{A}{2}\right)^2$ 作为完全平方数模 4 时只能为 0 或 1 , 故由 $x^2+A x+B=\left(x+\frac{A}{2}\right)^2... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise2.tex | proof | 问题16 设集合 $S_n=\{1,2, \cdots, n\}$, 若 $Z$ 是 $S_n$ 的子集, 把 $Z$ 中的所有数的和称为 $Z$ 的“容量” (规定空集的容量为 0 ). 若 $Z$ 的容量为奇 (偶) 数, 则称 $Z$ 为 $S_n$ 的奇 (偶)子集.
(1) 求证: $S_n$ 的奇子集与偶子集个数相等;
(2)求证: 当 $n \geqslant 3$ 时, $S_n$ 的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等;
(3)当 $n \geqslant 3$ 时, 求 $S_n$ 的所有奇子集的容量之和. | 设 $S$ 为 $S_n$ 的奇子集, 令 $T=\left\{\begin{array}{l}S \cup\{1\}, \text { 若 } 1 \notin S, \\ S \backslash\{1\} \text {, 若 } 1 \in S .\end{array}\right.$ 则 $T$ 是偶子集, $S \rightarrow T$ 是奇子集到偶子集的一一对应, 而且对每个偶子集 $T$, 恰有一个奇子集 $S=\left\{\begin{array}{l}T \cup\{1\}, \text { 若 } 1 \notin T, \\ T \backslash\{1\}, \text { 若 } 1 \in T ... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise2.tex | proof | 问题17 已知一族集合 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 具有性质:
(1) 每个 $A_i$ 含 30 个元素;
(2) 对每一对 $i 、 j, 1 \leqslant i<j \leqslant n, A_i \cap A_j$ 恰含有一个元素;
(3) $A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n=\varnothing$.
求使这些集合存在的最大的正整数 $n$. | 最大的 $n=871$. 若 $n \geqslant 872$, 则 $A_1$ 中必有一个元素 $a$ 至少属于除 $A_1$外的 30 个集合 (因 $29 \times 30+1=871<n$ ). 设 $a \notin A_i$, 每个含 $a$ 的集与 $A_i$ 有一个公共元, 故 $A_i$ 至少有 31 个元, 矛盾.
如下 871 个集满足题设: $A=\left\{a_0, a_1, \cdots, a_{29}\right\} ; B_i=\left\{a_0, a_{i, 1}\right.$, $\left.a_{i, 2}, \cdots, a_{i, 29}\right\}, 1 \leqslant... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise2.tex | proof | 问题18 设 $M=\{1,2, \cdots, 20\}$, 对于 $M$ 的任一 9 元子集 $S$, 函数 $f(S)$ 取 $1 \sim 20$ 之间的整数值.
求证: 不论 $f$ 是怎样的一个函数, 总存在 $M$ 的一个 10 元子集 $T$, 使得对所有的 $k \in T$, 都有
$$
f(T-\{k\}) \neq k(T-\{k\} \text { 为 } T \text { 对 }\{k\} \text{的差集}).
$$ | 如果一个 10 元子集 $T$ 具有性质: 对任何 $k \in T$, 均有 $f(T-\{k\}) \neq k$, 我们就称 $T$ 为 “好集”. 不是 “好集” 的 10 元子集称为 “坏集”, 也就是说, 如果 $T$ 为“坏集”, 则在 $T$ 中必有一 $k_0$, 使 $f\left(T-\left\{k_0\right\}\right)=k_0$. 若令 $S=T-\left\{k_0\right\}$, 这是一个 9 元子集, 则一方面 $f(S)=k_0$, 另一方面 $T=S \cup\left\{k_0\right\}$, 即 $T=S \cup \{f(S)\}$. 上式表示了 “坏集” 的结构, 它可... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise2.tex | proof | 问题19 设 $k \geqslant 6$ 为自然数, $n=2 k-1$. $T$ 为所有 $n$ 元数组 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 的集合, 其中 $x_i \in\{0,1\}, i=1,2, \cdots, n$. 对于 $x=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right), y= \left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right) \in T$, 定义
$$
d(x, y)=\sum_{i=1}^n\left|x_i-y_i\right| .
$$
特别地有 $d(x, x)=0$. 设有一个由 $T$ 的 $2^k$ 个元素组成的子... | 由于 $d(x, x)=0<3$, 所以 $S$ 中任何两个元素的距离都大于 3 . 因而当将 $S$ 中的元素 $x$ 的 $n$ 个分量改变 1 个、2 个或 3 个 (1 变为 0 或 0 变为 1 ) 时, 所得的元素都在 $T-S$ 中, 且 $S$ 中的不同元素按上述办法所得的元素也互不相同.
按假设知, 对每个 $x \in T$, 都有惟一的 $y \in S$, 使得 $d(x, y) \leqslant 3$, 所以 $T- S$ 中的每个元素都可由 $S$ 中的元素按上述办法生成.
从而有 $2^n=2^k\left(\mathrm{C}_n^0+\mathrm{C}_n^1+\right. \left.\ma... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise2.tex | proof | 问题20 设 $n \in \mathbf{N}^*$, 而 $A_1, A_2, \cdots, A_{2 n+1}$ 是集合 $B$ 的一族子集且满足条件:
(1) 每个 $A_i$ 中恰含有 $2 n$ 个元素;
(2) $A_i \cap A_j(1 \leqslant i<j \leqslant 2 n+1)$ 恰含有一个元素;
(3) $B$ 中每个元素至少属干两个子集 $A_{i_1}$ 和 $A_{i_2}, 1 \leqslant i_1<i_2 \leqslant 2 n+1$.
试问：对怎样的 $n \in \mathbf{N}^*$, 可以将 $B$ 中的每一个元素贴上一张写有 0 或 1 的标签, 使得每个... | 首先, 由条件(1)-(3) 可以导出更强的条件: (3') $B$ 中每个元素恰好属于 $A_1, A_2, \cdots, A_{2 n+1}$ 中的两个.
若不然, 不妨设有 $b \in B$, 使得 $b \in A_1 \cap A_2 \cap A_3$. 因为对任何 $i \neq j, A_i \cap A_j$ 恰有一个元素, 故知 $A_1 \cap\left(\bigcup_{j=2}^{2 n+1} A_j\right)= \left[A_1 \cap\left(A_2 \cup A_3\right)\right] \cup\left[A_1 \cap\left(\bigcup_{j=4}^{2 n+1} ... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise3.tex | proof | 问题9 设 $A$ 是一个正整数的集合, 且对任意 $x, y \in A$, 都有 $|x-y| \geqslant \frac{x y}{25}$. 求证: $A$ 中最多有 9 个元素. | 设 $A=\left\{x_1, x_2, \cdots, x_n\right\}, x_{i+1}=x_i+d_i, d_i>0$. 由条件 $|x-y| \geqslant \frac{x y}{25}$ 易知, $A$ 中至多有 1 个元素不小于 25 , 从而有 $x_{n-1} \leqslant 24$. 由 $d_i=\mid x_{i+1}- x_i \mid \geqslant \frac{x_{i+1} \cdot x_i}{25}=\frac{\left(x_i+d_i\right) x_i}{25}$, 解得 $d_i \geqslant \frac{x_i^2}{25-x_i}$. 若 $x_5 \geqs... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise3.tex | proof | 问题10 对于集合 $S=\left\{\left(a_1, a_2, \cdots, a_5\right) \mid a_i=0\right.$ 或 $\left.1, i=1,2, \cdots, 5\right\}$ 中的任意两个元素 $A=\left(a_1, a_2, \cdots, a_5\right)$ 和 $B=\left(b_1, b_2, \cdots, b_5\right)$, 定义它们的距离为: $d(A, B)=\left|a_1-b_1\right|+\cdots+\left|a_5-b_5\right|$. 取 $S$ 的一个子集 $T$, 使 $T$ 中任意两个元素之间的距离都大于 2 . 问子集 $... | 假设有一个 5 个元素的子集也符合条件,则这 5 个元素中至少有 3 个的第一位数码相同.
不妨设 $A 、 B 、 C$ 这三个元素的第一位数码相同.
同样, 在 $A 、 B 、 C$ 中, 第二、三、四、五个数码上, 每一位都至少有两个元素的对应数码相同.
但 $A 、 B 、 C$ 三元素两两分组只有 3 组, 故至少有两个元素, 它们除第一数码相同外, 至少还有两位数码相同, 不妨设 $A$ 与 $B$, 则 $A 、 B$ 的距离不大于 2 , 矛盾.
故 $T$ 的元素不多于 4 个.
可令 $T=\{(1,1,1,1,1),(0,0,0,1$, $1),(1,1,0,0,0),(0,0,1,0,0)\}$, 则不难验... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise3.tex | proof | 问题12 我们称一个正整数的集合 $A$ 是“一致”的,是指: 删除 $A$ 中任何一个元素之后, 剩余的元素可以分成两个不相交的子集, 而且这两个子集的元素之和相等.
求最小的正整数 $n(n>1)$, 使得可以找到一个具有 $n$ 个元素的 “一致”集合 $A$. | 设 $A=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}$, 又设 $M$ 是 $A$ 中各元素之和.
根据题中的条件可以断定, 对任何 $i=1,2, \cdots, n, M-a_i$ 是偶数.
如果 $M$ 是偶数, 则 $A$ 中每个元素也都是偶数, 即 $a_i=2 b_i$, 而集合 $\left\{b_1, b_2, \cdots, b_n\right\}$ 仍然是“一致” 的.
假定 $M$ 是奇数,故对于 $i=1,2, \cdots, n, a_i$ 也都是奇数.
由于 $a_1+a_2+\cdots+ a_n=M, n$ 也是奇数.
$n=7$ 时, 容易验证集合 $A=\{1,3,5... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise3.tex | proof | 问题15 设 $O x y z$ 是空间直角坐标系, $S$ 是空间中的一个由有限个点所形成的集合, $S_x 、 S_y 、 S_z$ 分别是 $S$ 中所有的点在 $O y z$ 平面、 $O z x$ 平面、 $O x y$ 平面上的正交投影所成的集合.
证明
$$
|S|^2 \leqslant\left|S_x\right| \cdot\left|S_y\right| \cdot\left|S_z\right|,
$$
其中 $|A|$ 表示有限集合 $A$ 中的元素数目.
(说明: 所谓一个点在一个平面上的正交投影是指由点向平面所作垂线的垂足.
) | 记 $S_{i, j}$ 是 $S$ 中形如 $(x, i, j)$ 的点的集合, 即 $S$ 中在 $O y z$ 平面内正交投影坐标为 $(i, j)$ 的一切点的集合.
显然 $S=\bigcup_{(i, j) \in S_x} S_{i, j}$. 由柯西不等式, 得 $|S|^2=\left(\sum_{\left(i, j, \in S_x\right.}\left|S_{i, j}\right|\right)^2 \leqslant \sum_{(i, j) \in S_x} 1^2 \times \sum_{(i, j) \in S_x}\left|S_{i, j}\right|^2=\left|S_x\right... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise3.tex | proof | 问题18 设 $S$ 为平面上给定的有限整点集, $A$ 为 $S$ 的满足任两点的连线都不平行于坐标轴的元素个数最多的子集, $B$ 为整数集的满足对任意 $(x, y) \in S$, 总有 $x \in B$ 或 $y \in B$ 的元素个数最少的子集.
证明: $|A| \geqslant|B|$. | 记 $\tau=|B|$, 从集合 $S$ 中尽可能多的去掉一些点得到 $S$ 的子集 $S^{\prime}$, 使得 $S^{\prime}$ 满足: 1) 若 $B^{\prime}$ 为 $\mathbf{Z}$ 的满足 $\forall(x, y) \in S^{\prime}$, 总有 $x \in B^{\prime}$ 或 $y \in B^{\prime}$ 的元素个数最小的子集, 则 $\left.\left|B^{\prime}\right|=\tau ; 2\right)$ 对 $\forall b \in S^{\prime}$, 若 $B^{\prime \prime}$ 是 $\mathbf{Z}$ 的... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise4.tex | proof | 问题1 已知集合 $\{1,2,3, \cdots, 3 n-1,3 n\}$, 可以分为 $n$ 个互不相交的三元组 $\{x, y, z\}$, 其中 $x+y=3 z$. 则满足上述要求的两个最小的正整数 $n$ 是 | 5,8 . 设三元组为 $\left\{x_i, y_i, z_i\right\}$, 且 $x_i+y_i=3 z_i, i=1,2, \cdots, n$. 则有 $\sum_{i=1}^n\left(x_i+y_i+z_i\right)=4 \sum_{i=1}^n z_1=\frac{3 n(3 n+1)}{2}$. 当 $2 \mid n$ 时, $8 \mid n$, 得 $n$ 的最小值为 8 ; 当 $2 \times n$ 时, $8 \mid 3 n+1$, 得 $n$ 的最小值为 5 . 可验证 $5 、 8$ 即为所求. | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise4.tex | proof | 问题3 设集合 $A \cup B=\{1,2, \cdots, 9\}, A \cap B=\varnothing$. 求证: 在 $A$ 或 $B$ 中含有三个元素 $x 、 y 、 z$, 使得 $x+z=2 y$. | 假设结论不成立.
不妨设 $5 \in A$, 则 $1 、 9$ 不同时属于 $A$. 若 $1 \in A$, 且 $9 \in B$, 则 $3 \in B \Rightarrow 6 \in A \Rightarrow 4,7 \in B \Rightarrow 2,8 \in A$, 与 $5 \in A$ 矛盾.
若 $1,9 \in B$, 当 $7 \in A \Rightarrow 3,6 \in B$, 与 $9 \in B$ 矛盾; 当 $7 \in B \Rightarrow 8,4 \in A \Rightarrow 3 \in B \Rightarrow 2 \in A$, $2,5,8 \in A$ 矛... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise4.tex | proof | 问题5 试证: 对于每个大于 1 的整数 $r$, 都能找到一个最小的整数 $h(r)>1$, 使在集合 $\{1,2, \cdots, h(r)\}$ 分成 $r$ 组的任何分划中,都存在整数 $a \geqslant 0,1 \leqslant x \leqslant y$, 使数 $a+x, a+y, a+x+y$ 含于分划的同一组中. | 考察将 $\{1,2, \cdots, 2 r\}$ 分成 $r$ 组的任一分划.
在 $r, r+1, \cdots, 2 r$ 这 $r+1$ 个数中, 必有两个数 $u$ 和 $v$ 属于同一组, 不妨设 $u<v$. 令 $a=2 u-v \geqslant 0, x=y=v-u \geqslant 1$, 则 $a+x=a+y=u, a+x+y=v$ 在同一组中.
由此可见, $h(r) \leqslant 2 r$.
另一方面, 考察 $\{1,2, \cdots, 2 r-1\}$ 的如下分划: $\{1,1+r\},\{2,2+ r\}, \cdots,\{r-1,2 r-1\},\{r\}$. 显然 $a+x 、 ... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise4.tex | proof | 问题6 已知整个空间被分成互不相交的 5 个非空集合, 求证: 必有一个平面, 它至少与其中的 4 个集合有公共点. | 若不然,则任何一个平面至多与其中的 3 个集合相交.
在 5 个集合中各取 1 点, 5 点分别为 $A 、 B 、 C 、 D 、 E$, 则其中任何 4 点都不共面, 因而其中任何 3 点都不共线.
考察以 $A B$ 为公共交线的 3 个平面 $A B C 、 A B D$ 和 $A B E$, 不难看出, 其中必有一个平面, 使得另两点分别属于该平面将空间分成的两个半空间中.
不妨设点 $D$ 和 $E$ 分别位于平面 $A B C$ 的两侧.
从而直线 $D E$ 与平面 $A B C$ 相交, 记交点为 $F$. 由于 $A 、 B 、 C 3$ 点分属于 3 个集合, 而平面 $A B C$ 只与 3 个集合相交, 所... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise4.tex | proof | 问题8 (1)证明：正整数集 $\mathbf{N}^*$ 可以表示为三个彼此不相交的集合的并集,使得: 若 $m, n \in \mathbf{N}^*$, 且 $|m-n|=2$ 或 5 , 则 $m 、 n$ 属于不同的集合.
(2)证明: 正整数集 $\mathbf{N}^*$ 可以表示为 4 个彼此不相交的集合的并集,使得: 若 $m, n \in \mathbf{N}^*$, 且 $|m-n|=2 、 3$ 或 5 , 则 $m 、 n$ 属于不同的集合.
并说明：此时将 $\mathbf{N}^*$ 拆分为三个彼此不相交的集合的并集时,命题不成立. | (1) 令 $A=\left\{3 k \mid k \in \mathbf{N}^*\right\}, B=\left\{3 k-2 \mid k \in \mathbf{N}^*\right\}, C=\{3 k- 1 \mid k \in \mathbf{N}^*\}$, 则 $A 、 B 、 C$ 彼此的交集为空集, 且 $A \cup B \cup C=\mathbf{N}^*$, 并且此时属于同一集合的两个元素之差为 3 的倍数,不等于 2 或 5 .
(2) 令 $A=\left\{4 k \mid k \in \mathbf{N}^*\right\}, B=\left\{4 k-1 \mid k \in \mathb... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise4.tex | proof | 问题9 试确定所有的正整数 $n$, 使得集合 $\{1,2, \cdots, n\}$ 可以分成 5 个互不相交的子集,每个子集中元素之和相等. | 我们先找一个必要条件, 若 $\{1,2, \cdots, n\}$ 能分成 5 个互不相交的子集, 各个子集的元素和相等, 则 $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ 能被 5 整除, 所以 $n=5 k$ 或 $n=5 k-1$. 显然, 当 $k=1$ 时, 上述条件不是充分的.
可用数学归纳法证明, 当 $k \geqslant 2$ 时, 条件是充分的.
当 $k=2,3$, 即 $n=9,10,14,15$ 时, 可以验证结论成立:
若集合 $\{1,2, \cdots, n\}$ 能分成 5 个互不相交的子集, 且它们各自的元素和相等, 则易证 $\{1,2, \cdots, n, n+1, \... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise4.tex | proof | 问题13 设 $S$ 为 $n$ 个正实数组成的集合, 对 $S$ 的每个非空子集 $A$, 令 $f(A)$ 为 $A$ 中所有元素的和.
求证: 集合 $\{f(A) \mid A \subseteq S, A \neq \varnothing\}$ 可以分拆为 $n$ 个互不相交的子集, 每个子集中最大数与最小数之比小于 2 . | 设 $S=\left\{u_1, u_2, \cdots, u_n\right\}$, 且 $u_1<u_2<\cdots<u_n . u_i>0(i=1, \cdots$, $n)$. 令 $S_1=\left\{f(A) \mid A=\left\{u_1\right\}\right\} . S_k=\left\{f(A) \mid u_1+u_2+\cdots+u_{k-1}<f(A) \leqslant u_1+u_2+\cdots+u_k\right\}, k=2,3, \cdots, n$. 则 $S_1, S_2, \cdots, S_n$ 是符合要求的分拆.
事实上, 在 $S_1$ 中最大数与最小数都等于 $u_1... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise4.tex | proof | 问题15 给定集合 $S=\left\{z_1, z_2, \cdots, z_{1993}\right\}$, 其中 $z_1, z_2, \cdots, z_{1993}$ 都是非零复数 (可看作平面上的非零向量). 求证: 可以把 $S$ 中的元素分成若干组, 使得
(1) $S$ 中的每个元素属于且仅属于其中一组;
(2) 每组中的任一复数与该组中所有复数之和的夹角不超过 $90^{\circ}$;
(3) 将任意两组中的所有复数分别求和, 所得的两个和数之间的夹角大于 $90^{\circ}$. | 考虑集合 $S$ 的所有子集并计算每个子集中所有复数的和的模.
因这样得到的模数只有有限多个, 故其中必有最大数.
将模取最大值的子集之一记为 $A$. 如果 $S-A \neq \varnothing$, 再将 $S-A$ 的所有子集中能使其中所有复数之和的模达到最大的一个子集取为 $B$. 如果 $S-(A \cup B) \neq \varnothing$, 则令 $C=S-(A \cup B)$. 这样选取的至多 3 个子集便满足题中要求.
将 $A 、 B 、 C$ 中所有元素之和分别记为 $a 、 b 、 c$.
(i) 对任意 $z \in A$, 如果 $z$ 与 $a$ 的夹角为钝角, 则 $-z$ 与 $a$ 的... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise4.tex | proof | 问题16 设 $r 、 s 、 n$ 都是正整数, 并且 $r+s=n$. 求证: 集合
$$
\begin{aligned}
& A=\left\{\left[\frac{n}{r}\right],\left[\frac{2 n}{r}\right], \cdots,\left[\frac{(r-1) n}{r}\right]\right\}, \\
& B=\left\{\left[\frac{n}{s}\right],\left[\frac{2 n}{s}\right], \cdots,\left[\frac{(s-1)}{s} \underline{n}\right]\right\}
\end{aligned}
$$
构成 ... | 因 $|A|=r-1,|B|=s-1,|N|=n-2$, 故 $A$ 与 $B$ 构成 $N$ 的一个分划等价于 $A \cap B=\varnothing$.
必要性.
若 $r 、 n$ 之一与 $n$ 有公因数 $d$, 则另一个也与 $n$ 有公因数 $d$. 设 $r= r^{\prime} d, s=s^{\prime} d$, 于是 $\left[\frac{r^{\prime} n}{r}\right]=\left[\frac{s^{\prime} n}{s}\right], A \cap B \neq \varnothing$, 矛盾.
充分性.
假设 $A \cap B \neq \varnothing$, 则存... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise5.tex | proof | 问题7 设 $S$ 为 $\{1,2, \cdots, 9\}$ 的子集, 且 $S$ 中任意两个不同的数作和, 所得的数两两不同,问: $S$ 中最多有多少个元素? | 容易验证: 当 $S=\{1,2,3,5,8\}$ 时符合题中要求.
如果 $T \subseteq\{1$, $2, \cdots, 9\},\{T\} \geqslant 6, T$ 中任意两个不同的数之和介于 3 与 17 之间, 故至多可以形成 15 个不同的和数.
而 $T$ 中任取两个数, 有至少 $\mathrm{C}_6^2=15$ 种取法.
如果 $T$ 满足条件, 则所得和数中必须 3 与 17 同时出现, 即 $1 、 2 、 8 、 9$ 都在 $T$ 中出现, 但这时 $1+9=2+8, T$ 不合题意. | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise5.tex | proof | 问题8 设 $r(r \geqslant 2)$ 是一个固定的正整数, $F$ 是一个无限集合族, 且每个集合中有 $r$ 个元素.
若 $F$ 中任意两个集合的交集非空, 证明: 存在--个具有 $r^{--1}$ 个元素的集合与 $F$ 中的每一个集合的交集均非空. | 可以证明命题: 如果集合 $A$ 的元素个数小于 $r$, 且包含于 $F$ 的无穷多个集合中, 则要么 $A$ 与 $F$ 中所有集合的交集非空, 要么存在一个 $x \notin A$, 使得 $A \cup\{x\}$, 包含于 $F$ 的无穷多个集合中.
当然,这样的集合 $A$ (如空集) 是存在的.
重复运用这个命题 $r$ 次, 即得所要证明的结论.
因为具有 $r$ 个元素的集合不可能包含于 $F$ 的无穷多个集合中.
假设 $F$ 中的某个集合 $R=\left\{x_1, x_2, \cdots, x_r\right\}$ 与集合 $A$ 的交集是空集, 由于 $F$ 中有无穷多个集合包含 $A$, 且每一个集合... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise5.tex | proof | 问题11 设 $n \in \mathbf{N}^*, n \geqslant 2, S$ 是一个 $n$ 元集合.
求最小的正整数 $k$, 使得存在 $S$ 的子集 $A_1, A_2, \cdots, A_k$ 具有如下性质：对 $S$ 中的任意两个不同元 $a 、 b$, 存在 $j \in\{1,2, \cdots, k\}$,使得 $A_j \bigcap\{a, b\}$ 为 $S$ 的一元子集. | 构造如右表格:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline & 1 & 2 & 3 & $\cdots$ & $n$ \\
\hline$A_1$ & & & & & \\
\hline$A_2$ & & & & & \\
\hline$A_3$ & & & & & \\
\hline$\vdots$ & & & & & \\
\hline$A_k$ & & & & & \\
\hline & $P_1$ & $P_2$ & $P_3$ & $\cdots$ & $P_n$ \\
\hline
\end{tabular}
如果 $i \in A_j$, 那么在 $A_j$ 所在行、 $i$ 所在列处... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise6.tex | proof | 问题1 已知 $S=\left\{\frac{(3 n) !}{6^n \cdot n} \mid n \in \mathbf{N}^*\right\}$, 设 $s \in S$. 求证 $: s \in \mathbf{N}^*$. | 显然 $2^n \mid(3 n)$ !. 而 $3^n \cdot n !=3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \cdots \cdot 3 n$, 所以 $\left(3^n \cdot n !\right) \mid(3 n)$ !. | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise6.tex | proof | 问题2 数集 $M$ 由 2003 个不同的正数组成,对于 $M$ 中任何三个不同的元素 $a 、 b$ 、 $c$, 数 $a^2+b c$ 都是有理数.
证明: 可以找到一个正整数 $n$, 使得对于 $M$ 中任何数 $a$, 数 $a \sqrt{n}$ 都是有理数. | $a, b, c, d \in M$, 且两两不同.
由 $d^2+a b \in \mathbf{Q}, d^2+b c \in \mathbf{Q}$, 得 $b c-a b \in \mathbf{Q}$. 故 $a^2+a b=a^2+b c+(a b-b c) \in \mathbf{Q}$, 同理 $b^2+a b \in \mathbf{Q}$. 从而, 对 $M$ 中任何两个不同的数 $a 、 b$, 都有 $q=\frac{a}{b}=\frac{a^2+a b}{b^2+a b} \in \mathbf{Q}$. 于是, $a=q b$, 从而 $a^2+a b= b^2\left(q^2+q\right)=l ... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise6.tex | proof | 问题3 已知由 2003 个正数组成的集合,该集合中的任意两个数 $a$ 与 $b(a>b)$ 的和 $a+b$ 与差 $a-b$ 中至少有一个属于该集合.
证明: 若将该集合中的数按递增的顺序排列, 则相邻两个数的差相同. | 将 2003 个正数按递增顺序排列, 并记 $A=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_{2003}\right\}$. 因为 $\left(a_{2003}+a_i\right) \notin A$, 所以 $\left(a_{2003}-a_i\right) \in A, i=1,2, \cdots, 2002$. 即 $a_{2003}-a_{2002}< a_{2003}-a_{2001}<\cdots<a_{2003}-a_1<a_{2003} \in A$. 故 $a_{2003}-a_i=a_{2003-i}, i=1,2, \cdots$, 2002. 同理 $a_{2002}-a_i=a_{2002... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise6.tex | proof | 问题4 设 $S=\left\{\frac{m n}{m^2+n^2} \mid m, n \in \mathbf{N}^*\right\}$. 求证: 如果 $x, y \in S$, 且 $x<y$, 那么一定存在 $z \in S$, 使得 $x<z<y$. | 设 $x, y \in S, x=\frac{m n}{m^2+n^2}, y=\frac{a b}{a^2+b^2}, x<y$. 不妨设 $m \leqslant n, a \leqslant b$. 考虑函数 $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$, 易证 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上严格递增.
所以对所有 $c, d \in[0,1]$, 有 $f(c)<f(d) \Leftrightarrow c<d$. 因为 $f\left(\frac{m}{n}\right)=\frac{m n}{m^2+n^2}<\frac{a b}{a^2+b^2}=f\left(\frac{a}{b}\right)$, 所以 $\... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise6.tex | proof | 问题6 设集合 $M=\left\{x_1, x_2, \cdots, x_{30}\right\}$ 由 30 个互不相同的正数组成, $A_n(1 \leqslant n \leqslant 30)$ 是 $M$ 中所有的 $n$ 个不同元素之和的和数.
证明: 若 $A_{15}>A_{10}$, 则 $A_1>1$. | 只需证明: 如果 $A_1 \leqslant 1$, 那么对一切 $1 \leqslant n \leqslant 29$, 都有 $A_{n+1}<A_n$. 由于 $A_1 \leqslant 1$, 所以, $A_n \geqslant A_1 A_n$. 将 $A_1$ 与 $A_n$ 乘开, 并且整理以后, 可知 $A_1 A_n= A_{n+1}+S_n$, 易证 $S_n>0$, 由此即得所证. | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise6.tex | proof | 问题7 $S$ 为 $m$ 个无序正整数对 $(a, b)(1 \leqslant a<b \leqslant n)$ 所成的集合.
证明: 至少有 $4 m \cdot \frac{m-\frac{n^2}{4}}{3 n}$ 个无序三元数组 $(a, b, c)$, 使得 $(a, b),(b, c),(c, a)$ 都属于 $S$. | 考虑 $n$ 个点 $1,2, \cdots, n$. 如果 $(i, j) \in S$, 则在 $i$ 与 $j$ 之间连一条线.
我们来求这个图中的三角形的个数.
设 $(i, j) \in S$, 并且自 $i$ 引出的线有 $d_i$ 条, 则以 $(i, j)$ 为边的三角形至少有 $d_i+d_j-n$ 个.
由于每个三角形有三条边, 所以 $S$ 中至少有 $\frac{1}{3} \sum_{(i, j) \in S}\left(d_i+d_j-n\right)$ (1)个三角形.
$\sum_{(i, j) \in S} 1=m, \sum_{(i, j) \in S} n=n m$. (2)
对于每个固定的 $... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise6.tex | proof | 问题8 设 $L$ 是坐标平面中的一个子集.
定义如下:
$$
L=\{(41 x+2 y, 59 x+15 y) \mid x, y \in \mathbf{Z}\} .
$$
试证: 每个以原点为中心, 面积等于 1990 的平行四边形至少包含集 $L$ 中的两个点. | 设 $F$ 是以 $(0,0),(41,59),(43,74),(2,15)$ 为顶点的平行四边形, 它的 4 个顶点都属于 $L$, 且 $F$ 中其他点都不属于 $L$. 将 $F$ 在坐标平面上向各方向平移,便形成以 $F$ 为基本区域的网络, 网络的结点都是 $L$ 中的点.
$F$ 的面积
$$
S_F=\left|\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
41 & 59 & 1 \\
2 & 15 & 1
\end{array}\right|=497
$$
设 $P$ 是以原点为中心, 面积等于 1990 的平行四边形.
作以原点为中心, 相似比为 $\frac{1}{2}$ 的位似变换.
记平行四... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise6.tex | proof | 问题9 证明: 在集合 $\left\{1,2,3, \cdots, \frac{3^n+1}{2}\right\}\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ 中可取出 $2^n$ 个数, 其中无三个数成等差数列. | 用数学归纳法.
当 $n=k+1$ 时, 可分别从 $A_1=\left\{1,2, \cdots, \frac{3^k+1}{2}\right\}$ 及 $A_2=\left\{3^k+1,3^k+2, \cdots, 3^k+\frac{3^k+1}{2}\right\}$ 中各取 $2^k$ 个数满足条件. | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise6.tex | proof | 问题10 设 $a_j 、 b_j 、 c_j$ 为整数, 这里 $1 \leqslant j \leqslant N$, 且对任意的 $j$, 数 $a_j 、 b_j 、 c_j$ 中至少有一个为奇数.
证明: 存在一组数 $r 、 s 、 t$, 使得集合 $ \{r a_j+s b_j+t c_j \mid 1 \leqslant j \leqslant N\}$ 中, 至少有 $\frac{4 N}{7}$ 个数为奇数. | 考虑不全为零的 7 个数组 $(x, y, z)$, 其中 $x, y, z \in\{0,1\}$. 容易证明: 若 $a_j 、 b_j 、 c_j$ 不全为偶数, 则集合 $A_j=\{x a_j+y b_j+z c_j \mid x, y, z \in\{0,1\}\}$ 中恰有 4 个为偶数, 也恰有 4 个为奇数, 这里 $1 \leqslant j \leqslant N$. 当然, 在 $x=y= z=0$ 时, $x a_j+y b_j+z c_j$ 为偶数.
由此可知 $ \{x a_j+y b_j+z c_j \mid x, y, z \in\{0,1\}, x 、 y, z$ 不全为零, $1 \leqsla... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise6.tex | proof | 问题11 平面上不含零向量的集合 $A$, 若其至少有三个元素, 且对任意 $u \in A$, 存在 $v, w \in A$, 使 $v \neq w, u=v+w$, 则称 $A$ 具有性质 $S$. 证明:
(1) 对任意 $n \geqslant 6$, 存在具有性质 $S$ 的向量集;
(2) 具有性质 $S$ 的有限向量集合都至少有 6 个元素. | (1) 对 $n(n \geqslant 6)$ 进行归纳.
当 $n=6$ 时, 考虑 $\triangle A B C$ 及 $A B 、 B C 、 C A$ 、 $B A 、 C B 、 A C$. 对于具有性质 $S$ 的 $n$ 元集合 $A$, 设其非零向量为 $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, v_n$. 设 $v_i 、 v_j$ 是 $A$ 的两个不同向量, $v_i$ 与 $v_j$ 的夹角是 $A$ 中各向量之间的最小角.
则 $\left(\boldsymbol{v}_i+\boldsymbol{v}_j\right) \notin A$, 否则与最小性... | [] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise6.tex | proof | 问题12 平面上的点集 $H$ 称为是好的, 如果 $H$ 中任意 3 个点都存在一条对称轴, 使得这 3 个点关于这条对称轴对称.
证明:
(1) 一个好的集合不一定是轴对称的;
(2) 如果一个好的集合中恰有 2003 个点,则这 2003 个点在一条直线上. | (1) 如图(<FilePath:./images/volume1/figures/fig-c6p12-1.png>), $\triangle A B C 、 \triangle A D C 、 \triangle B C D$ 均为等腰三角形, $A 、 B 、 D$ 也共线.
所以, 任意三个点皆有一条对称轴.
故它是一个好的集合.
但是 $A 、 B$ 、 $C 、 D$ 不是轴对称的.
(2) 反证法.
假设结论不成立.
于是, 不可能有集合中的 6 个点共线.
否则, 在这条直线外必有 1 个属于集合的点 $K$, 过点 $K$ 作此直线的垂线, 则此直线上必有至少 3 个点在这条垂线的同侧, 记为 $A 、 B 、 C$... | [
"./images/volume1/figures/fig-c6p12-1.png",
"./images/volume1/figures/fig-c6p12-2.png",
"./images/volume1/figures/fig-c6p12-3.png"
] | |
./raw_volume-zh/volume1/exercise6.tex | proof | 问题13 一个正整数的集合 $C$ 称为 “好集”, 是指对任何整数 $k$, 都存在着 $a, b \in C$, $a \neq b$, 使得数 $a+k$ 与 $b+k$ 不是互质的数.
证明: 如果一个好集 $C$ 的元素之和为 2003 , 则存在一个 $c \in C$, 使得集合 $C \backslash\{c\}$ 仍是一个“好集”. | 设 $p_1, p_2, \cdots, p_n$ 是 $C$ 中两个数的差的所有可能的质因子.
假定对每个 $p_i$, 都存在一个剩余 $\alpha_i$, 使得 $C$ 中至多有一个数关于模 $p_i$ 与 $\alpha_i$ 同余.
利用中国剩余定理 (即孙子定理) 可得, 存在一个整数 $k$, 满足 $k \equiv p_i-\alpha_i(\bmod p_i ), i=1,2, \cdots, n$. 利用题中的条件可得, 存在某个 $j$ 和某个 $a, b \in C$, 使得 $p_j$ 整除 $a+k$ 与 $b+k$. 于是, $a$ 和 $b$ 关于模 $p_j$ 与 $\alpha_j$ 同余.
... | [] |
End of preview.
BlueMO
🚀 BlueMO: A Comprehensive Collection of Challenging Mathematical Olympiad Problems from the Little Blue Book Series
BlueMO is a comprehensive and challenging dataset comprising mathematical olympiad problems paired with detailed solutions, meticulously curated from the esteemed "Little Blue Book" (小蓝书) series (Second Edition)—a vital resource for Chinese students training for national and international olympiad math competitions.
Designed to advance and assess sophisticated reasoning in LLMs, this dataset serves as a benchmark or training resource for high-level problem-solving in AI.
Introduction for "Little Blue Book" (小蓝书)
The "Little Blue Book" (小蓝书) series, published by East China Normal University Press, is a cornerstone resource for students striving to master mathematical olympiads. Renowned for its depth, challenging problems, and elegant solutions, the series spans critical domains—Sets, Trigonometric, Geometry, Number Theory, Graph Theory, and Extremal Combinatorics—providing rigorous training for olympiad competitions.
About Dataset
BlueMO encompasses a total of 14 volumes from the third edition of the "Little Blue Book" series, covering a wide range of mathematical topics for both middle and high school levels.
The dataset is structured as follows:
High School Collection:
小蓝书高中卷1 集合 - Little Blue Book High School Vol.1: Sets
小蓝书高中卷2 函数与函数方程 - Little Blue Book High School Vol.2: Functions & Functional Equations
小蓝书高中卷3 三角函数 - Little Blue Book High School Vol.3: Trigonometric Functions
小蓝书高中卷4 平均值不等式与柯西不等式 - Little Blue Book High School Vol.4: Mean Value & Cauchy Inequalities
小蓝书高中卷5 不等式的解题方法与技巧 - Little Blue Book High School Vol.5: Methods & Techniques for Solving Inequalities
小蓝书高中卷6 数列与数学归纳法 - Little Blue Book High School Vol.6: Sequences & Mathematical Induction
小蓝书高中卷7 平面几何 - Little Blue Book High School Vol.7: Plane Geometry
小蓝书高中卷8 复数与向量 - Little Blue Book High School Vol.8: Complex Numbers & Vectors
小蓝书高中卷9 几何不等式 - Little Blue Book High School Vol.9: Geometric Inequalities
小蓝书高中卷10 数论 - Little Blue Book High School Vol.10: Number Theory
小蓝书高中卷11 组合数学 - Little Blue Book High School Vol.11: Combinatorics
小蓝书高中卷12 图论 - Little Blue Book High School Vol.12: Graph Theory
小蓝书高中卷13 组合极值 - Little Blue Book High School Vol.13: Extremal Combinatorics
小蓝书高中卷14 高中数学竞赛中的解题方法与策略 - Little Blue Book High School Vol.14: Problem-Solving Methods & Strategies for Math Competitions
Potential Usages
This dataset is a resource for AI researchers and developers, with key applications including:
Training & Fine-Tuning – Enhancing large language models’ capabilities in advanced mathematical reasoning.
AI Evaluation – Benchmarking the problem-solving proficiency and logical rigor of AI systems.
Formal Verification – Formalizing problems into mathematical languages (e.g., LEAN) to evaluate AI's reasoning capability with formal methods.
Comparative Analysis – Systematically assessing reasoning skills across different models and methodologies.
How to Use
We provide the raw data (*.tex) and the processed dataset, including calculation, proof, text and images they referred to.
A case in calculation.
{
"source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter1.tex",
"problem_type": "calculation",
"problem": "例1. 设集合 $M=\\left\\{x |{\\frac{a x-5}{x^{2}-a}}<0,\\,x\\in\\mathbb{R}\\right\\}$ \n(1)当 $a=4$ 时,化简集合 $M$ ;\n(2)若 $3\\in M,$ ,且 $5\\notin M,$ 求实数a的取值范围.",
"solution": "分析: 化简集合 $M$, 实际上就是解不等式 ${\\frac{a x-5}{x^{2}-a}}<0.$ \n解: (1) 当 $a=4$ 时,有\n$$\n{\\frac{4x-5}{x^{2}-4}}<0\\,, \n$$\n即\n$$\n\\left(x-\\frac{5}{4}\\right)(x+2)(x-2)<0. \n$$\n$x<-2$ 或 ${\\frac{5}{4}}<x<2.$ \n所以 $M=(-\\infty,-2)\\cup\\bigl({\\frac{5}{4}}, 2\\bigr).$ \n(2)由 $3\\in M,$ 得 ${\\frac{3a-5}{3^{2}-a}}<0$,即 $\\left(a-\\frac{5}{3}\\right)(a-9)\\geqslant0$ ,所以\n$$\na<{\\frac{5}{3}}或a>9. \n$$\n由 $5\\notin M$ 得, ${\\frac{5a-5}{5^{2}-a}}\\geqslant0$ 或 $5^{2}-a=0$ ,所以\n$$\n1\\leq a\\leq25. \n$$\n可得 $x\\in\\left[1,{\\frac{5}{3}}\\right)\\cup\\left(9,25\\right]$.\n说明: $5\\notin M$ 隐含了条件 $5^{2}-a=$ 0,这是容易被忽视的.\n由概括原则我们知道,判断一个对象 $x$ 是否为集合 $S$ 的元素,等价于判断 $x$ 是否具有性质 $P$.",
"remark": "",
"figures": []
}
source_file: Path to the original .tex source file containing this problem.
problem_type: Problem category (e.g., "calculation", "proof", etc.).
problem: Complete problem statement in LaTeX format, including sub-questions.
solution: Step-by-step solution with mathematical derivations in LaTeX.
remark: Additional notes or comments about the problem (empty if none).
figures: Array containing any associated diagram files (empty if none).
Citation
If you use the BlueMO dataset in your research, please consider citing it as follows:
@misc{bluemo2024,
title={BlueMO: A comprehensive collection of challenging mathematical olympiad problems from the little blue book series},
author={Chen, Yizhou and Luo, Yifan and Zhang, Yifan},
year={2024},
}
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