facts:
Faits :
A.
C._, née en 2010, est la fille des parents non mariés A._ et B._. Les parents se sont séparés en 2012. C._ vit avec sa mère, le père bénéficiant d'un droit de visite assez large.
Le 21 mai 2014, une curatelle de surveillance des relations personnelles a été instituée et D._ a été désigné en qualité de curateur. Suite à une requête du père et avec le consentement de la mère, l'autorité de protection de l'enfant et de l'adulte des Montagnes et du Val-de-Ruz (APEA) a attribué l'autorité parentale conjointe aux deux parents.
B.
Le 18 septembre 2015, la mère a notamment requis la suppression de l'autorité parentale du père. Le 8 décembre 2015 le père a demandé que l'APEA prononce la garde partagée.
Par décision du 5 septembre 2016, l'APEA a rejeté la requête en suppression de l'autorité parentale; maintenu l'autorité parentale conjointe; rejeté la requête en limitation du droit de visite; institué une garde alternée sur C._, qui s'exercera du lundi au lundi, une semaine sur deux, selon un calendrier établi par le curateur; ordonné la reprise de la médiation; maintenu la curatelle, mais renoncé à son extension; enfin, confirmé D._ en qualité de curateur.
Statuant le 21 décembre 2016, la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte du canton de Neuchâtel a rejeté les recours respectifs des parents contre cette décision.
C.
Agissant par la voie du recours en matière civile le 17 janvier 2017, A._ a conclu à l'annulation de l'arrêt attaqué et à sa réforme, en ce sens que l'autorité parentale exclusive et la garde exclusive sur C._ lui sont attribuées, que le droit de visite du père est modifié, celui-ci pouvant voir sa fille durant un soir de la semaine, à l'exception du mercredi soir, un week-end sur deux, du vendredi soir à 18h00 au dimanche soir à 18h00, ainsi que la moitié des vacances scolaires, selon un planning défini par le curateur, enfin, qu'aucune médiation n'est ordonnée.
Il n'a pas été requis d'observations sur le fond du recours.
D.
Par ordonnance présidentielle du 6 février 2017, le recours a été assorti de l'effet suspensif.

considerations:
Considérant en droit :
1.
L'arrêt entrepris concerne notamment l'attribution de l'autorité parentale et de la garde sur un enfant né hors mariage. Il s'agit d'une décision finale (<ref-law>), de nature non pécuniaire, prise en application de normes de droit public dans une matière connexe au droit civil, à savoir en matière de protection de l'enfant (art. 72 al. 2 let. b ch. 6 LTF), rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF). Le recours a été interjeté en temps utile (<ref-law>) et dans la forme prévue par la loi (<ref-law>) par une partie ayant succombé dans ses conclusions devant l'autorité précédente et ayant un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de l'arrêt déféré (<ref-law>). Le recours en matière civile est donc en principe recevable au regard des dispositions qui précèdent.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il ne connaît toutefois de la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été dûment invoqué et motivé par le recourant (" principe d'allégation ", <ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.3), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1.3).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2, 264 consid. 2.3), ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte doit satisfaire au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 2.3 et les références).
2.3. Lorsque le juge cantonal dispose d'un pouvoir d'appréciation (<ref-law>), le Tribunal fédéral ne revoit en principe qu'avec réserve sa décision prise en équité. Il intervient lorsque celle-ci s'écarte sans raison des règles établies par la jurisprudence en matière de libre appréciation, ou lorsqu'elle s'appuie sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle ou, à l'inverse, lorsqu'elle n'a pas tenu compte d'éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; il sanctionnera en outre les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une inéquité choquante (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 5.4).
3.
La recourante invoque en premier lieu le grief de violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.), sous l'angle du droit à une décision motivée.
3.1. Elle expose que la cour cantonale, en retenant que les compétences éducatives du père ne sont pas remises en cause par les parties, a complètement ignoré son argumentation. Elle affirme avoir précisément contesté, dans son recours cantonal, les compétences éducatives du père et son aptitude à prendre soin de l'enfant, pour le motif qu'il avait giflé C._, ce qu'il avait d'ailleurs admis. Elle aurait aussi invoqué à cet égard l'attitude virulente du père à l'encontre des professionnels qui entourent l'enfant, ce qui doit être qualifié comme un comportement impulsif, et son refus de communiquer sa nouvelle adresse, ce qui constitue un exemple de son caractère intransigeant. De plus, l'autorité cantonale aurait ignoré tous les rapports du curateur, sur lesquels la recourante explique avoir basé ses arguments; le curateur aurait en particulier indiqué que l'attribution exclusive de l'autorité parentale engendrerait moins de problème et qu'une garde alternée semblait inconcevable, ce que la juridiction précédente n'aurait pas mentionné, pas plus qu'elle n'aurait expliqué pourquoi elle a écarté cet avis.
3.2. La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu de l'art. 29 al. 2 Cst. l'obligation pour l'autorité de motiver sa décision, afin que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et exercer son droit de recours à bon escient (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 4.2). Pour satisfaire à ces exigences, il suffit que l'autorité mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé son raisonnement. Elle ne doit pas se prononcer sur tous les moyens des parties, mais peut au contraire se limiter aux questions décisives (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 5.2). La motivation peut d'ailleurs être implicite et résulter des différents considérants de la décision (<ref-ruling> consid. 3.2.1; arrêt 5A_741/2016 du 6 décembre 2016 consid. 3.3.1 et les références).
3.3. En l'espèce, les juges cantonaux ont motivé leur décision en indiquant de manière détaillée les raisons pour lesquelles ils ont attribué l'autorité parentale conjointe et instauré une garde alternée. L'argumentation de la recourante consiste à remettre en cause cette motivation, en particulier le fait que les parties ont chacune admis que l'autre parent disposait des capacités éducatives nécessaires pour s'occuper de C._. Il s'agit d'une question distincte de celle de la motivation, de sorte que le grief doit être écarté. La recourante a d'ailleurs parfaitement été en mesure de comprendre et d'attaquer le raisonnement de l'autorité cantonale, puisqu'elle a soulevé les griefs de constatation manifestement inexacte des faits et de violation du droit à cet égard. La question sera ainsi examinée ci-après sous cet angle.
4.
La recourante expose qu'au terme d'une constatation manifestement inexacte des faits, la cour cantonale a violé les art. 296 et 298d CC en maintenant l'autorité parentale conjointe sur C._.
4.1. L'autorité parentale conjointe est la règle depuis l'entrée en vigueur le 1er juillet 2014 des nouvelles dispositions du Code civil relatives à l'autorité parentale (RO 2014 357), ce indépendamment de l'état civil des parents (art. 296 al. 2, 298a al. 1, 298b al. 2 et 298d al. 1 CC; <ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 3.3). Il n'est qu'exceptionnellement dérogé à ce principe, lorsqu'il apparaît que l'attribution de l'autorité parentale exclusive à l'un des parents est nécessaire pour le bien de l'enfant. Une telle exception est en particulier envisageable en présence d'un conflit important et durable entre les parents ou d'une incapacité durable pour ceux-ci de communiquer entre eux à propos de l'enfant, pour autant que cela exerce une influence négative sur celui-ci et que l'autorité parentale exclusive permette d'espérer une amélioration de la situation. De simples différends, tels qu'ils existent au sein de la plupart des familles, d'autant plus en cas de séparation ou de divorce, ne constituent pas un motif d'attribution de l'autorité parentale exclusive, respectivement de maintien d'une autorité parentale exclusive préexistante (<ref-ruling> consid. 4.3 et 4.7; <ref-ruling> consid. 2.1). En outre, la seule distance géographique entre les parents n'est pas en soi suffisante pour déroger au principe de l'autorité parentale conjointe (ATF <ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 3).
4.2. Après avoir rappelé de manière détaillée la jurisprudence relative à l'autorité parentale conjointe, respectivement exclusive, et au terme d'une argumentation circonstanciée, la cour cantonale a considéré qu'en l'espèce, la situation des parents envisagée globalement et sans se limiter à une énumération de problèmes ponctuels n'atteint pas une gravité qui justifierait le retrait de l'autorité parentale à l'un des parents; autrement dit, il n'existe pas de motifs suffisants permettant de s'écarter du principe selon lequel l'autorité parentale doit être conjointe.
En substance, la juridiction précédente a relevé que la définition du domicile de l'enfant n'a pas donné lieu à des difficultés, qu'il n'existe pas de litige entre les parents concernant sa scolarité, qu'il n'y en a pas non plus à propos des soins corporels de C._ - si ce n'est des problèmes sans incidence réelle sur son bien-être -, que lorsque des traitements sont nécessaires, les deux parents les mettent en oeuvre, que ceux-ci ne manifestent pas de divergences quant aux activités proposées à l'enfant, la mère admettant d'ailleurs que le père propose des activités variées et intéressantes. Les parents se sont certes opposés au sujet de la publication de photographies de la fillette sur le compte Facebook du père, mais l'autorité cantonale avait déjà eu l'occasion de dire ce qu'il fallait en penser et on pouvaitespérer que les parents sauraient faire preuve de bon sens et éviter, pour l'un, de publier largement des photographies et, pour l'autre, de se montrer inutilement vindicative quant aux choix de son ex-compagnon à cet égard. Les compétences éducatives respectives des parents n'étaient pas en cause, ce que chacun d'eux admettait. La communication entre eux au sujet de C._, par le cahier suggéré par le curateur, se faisait normalement, même si l'on pouvait suggérer au père surtout et à la mère d'éviter d'y inscrire des remarques parfois désobligeantes. Il n'y avait pas non plus de divergences sur l'éducation religieuse de l'enfant, même si la fixation de la date de son baptême avait donné lieu à des échanges et interventions dont les parents, avec une once de bonne volonté de chaque côté, auraient sans doute pu faire l'économie. C._ a des contacts très réguliers avec ses deux parents, avec qui elle s'entend apparemment très bien et qu'elle apprécie, et l'exercice du droit de visite du père se passe apparemment très bien, grâce aussi à l'aide du curateur qui établit des plannings précis et réussit en principe à concilier des points de vue parfois divergents. En l'état, on ne pouvait d'ailleurs pas exclure qu'une sorte de " paix des braves ", qui les amènerait peut-être à des concessions réciproques et surtout à un peu de souplesse et de volonté de surmonter leurs divergences, leur profiterait à titre personnel et profiterait sans aucun doute à C._, qui a besoin d'un climat plus détendu pour se développer harmonieusement.
4.3. La recourante expose, en renvoyant à des pièces du dossier, que si la cour cantonale avait pris en compte les nombreuses difficultés de communication des parents et les rapports du curateur, elle lui aurait attribué l'autorité parentale exclusive.
Selon la recourante, le constat selon lequel il n'y aurait ni conflit sérieux et durable entre les parents, ni incapacité de communiquer, serait arbitraire. En particulier, l'autorité cantonale aurait ignoré les rapports du curateur, qui a relevé un " total désaccord [des parents] pour quasiment tous les sujets concernant leur fille " et a ajouté que " l'enfant semble être l'objet ou l'alibi utilisé pour alimenter les différends et problèmes entre eux ". Elle affirme que le seul fait qu'un curateur ait dû être nommé démontre que l'exercice conjoint de l'autorité parentale présente d'importantes difficultés; que ce curateur a dû traiter plus de 380 courriels en 760 jours; qu'il y a eu différents problèmes à propos de l'exercice du droit de visite, de l'établissement des plannings et de l'accueil parascolaire (puisque le père n'y déposait plus l'enfant malgré l'organisation convenue); que le père a une attitude virulente envers les professionnels qui entourent C._; que l'enfant est arrivé plusieurs fois en retard à l'école; que le père exercerait une surveillance inquiétante sur la mère; que l'organisation des visites est rigide; qu'il y a eu d'importantes difficultés pour l'organisation du baptême de l'enfant, le cas ayant dû être traité par l'autorité de protection de l'enfant; qu'un cahier de communication a été mis en place depuis juillet 2015, ce qui n'est le cas, comme l'aurait relevé le curateur, que s'il y a des difficultés importantes de communication; que les parties ont rencontré des difficultés concernant les photos de l'enfant mises par le père sur Facebook; que le père aurait giflé l'enfant; qu'il aurait refusé de modifier le droit de visite en semaine; qu'il aurait refusé de communiquer sa nouvelle adresse, alors que l'enfant dormait chez lui depuis le week-end du 21 octobre 2016; qu'en réalité, l'enfant serait souvent prise en charge par la compagne du père, et non par celui-ci, au début du droit de visite à 18h; que lors des vacances d'octobre 2016, le père n'aurait pas respecté le planning établi par le curateur, et qu'il aurait eu des propos virulents et une attitude agressive; que durant les vacances de l'enfant chez son père, la mère n'aurait eu le droit qu'à une communication téléphonique avec l'enfant, que celle-ci était alors en pleurs, la mère ayant alors tenté de trouver une solution, mais le père lui aurait raccroché au nez. Le comportement inadéquat du père serait confirmé par son attitude dans la présente procédure, puisqu'il a requis la révocation du curateur. Vu ce qui précède, il serait manifeste que le conflit est important et chronique, que l'autorité précédente l'a minimisé, que la curatelle n'a apporté aucune amélioration, que le conflit de loyauté de l'enfant est immense, que son bien-être est clairement menacé et que l'autorité parentale exclusive serait le seul moyen de diminuer le nombre des différends en lien avec l'enfant.
4.4. Cette argumentation intègre de nombreux éléments factuels qui ne ressortent pas de l'arrêt entrepris, sans que leur omission ne fasse l'objet d'une critique conforme aux exigences de motivation, en particulier lorsque la recourante se contente de les affirmer, sans renvoyer à un moyen de preuve, ou lorsqu'elle renvoie à un document sans expliquer de manière claire et précise quel passage de celui-ci permettrait de démontrer l'arbitraire dans l'établissement des faits (cf. supra consid. 2.2). On relèvera au demeurant que les conflits qui ont opposé les parents par rapport au droit de visite ne peuvent être pris en compte comme critères d'attribution de l'autorité parentale (arrêt 5A_22/2016 du 2 septembre 2016 consid. 5.2). Pour le surplus, la recourante s'attache en réalité à faire prévaloir sa propre appréciation des circonstances sur celle de la cour cantonale. Quand bien même certains désaccords des parents ont dû être réglés par l'intervention ponctuelle de l'autorité de protection de l'enfant, ce qu'ont d'ailleurs relevé les juges cantonaux, il n'en demeure pas moins qu'une intervention ponctuelle du juge ne doit pas nécessairement conduire à exclure l'autorité parentale conjointe (arrêt 5A_455/2016 du 12 avril 2017 consid. 5). Quant à l'argument relatif à l'existence d'un cahier de communication, il n'est pas non plus décisif: comme l'a relevé l'autorité cantonale, ce cahier permet en l'occurrence une communication normale au sujet de l'enfant. Contrairement à ce que prétend la recourante, l'autorité cantonale n'a pas ignoré les rapports et auditions du curateur, en particulier que celui-ci avait souligné que les parents n'arrivaient pas à se mettre d'accord sur une multitude de sujets concernant leur fille, qu'il n'y avait pas de signe concret de mise en danger de son développement, mais que le contexte était propice (cf. arrêt cantonal p. 3 et 4). Elle a cependant considéré, au terme d'une analyse précise de chaque conflit qui a surgi entre les parties, à laquelle on peut renvoyer, que la situation n'imposait pas d'opter pour le régime de l'autorité parentale exclusive.
En définitive, la cour cantonale n'a pas abusé de son pouvoir d'appréciation (cf. supra consid. 2.3) en considérant que l'autorité parentale conjointe devait être maintenue.
5.
La recourante conteste la décision entreprise en tant que celle-ci attribue la garde alternée aux deux parents.
5.1. Bien que l'autorité parentale conjointe soit désormais la règle et qu'elle comprenne le droit de déterminer le lieu de résidence de l'enfant (art. 296 al. 2 et 301a al. 1 CC; <ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 3.3 et les références), elle n'implique pas nécessairement l'instauration d'une garde alternée (arrêts 5A_266/2015 du 24 juin 2015 consid. 4.2.2.1; 5A_46/2015 du 26 mai 2015 consid. 4.4.3). Le juge doit néanmoins examiner, nonobstant et indépendamment de l'accord des parents quant à une garde alternée, si celle-ci est possible et compatible avec le bien de l'enfant (<ref-ruling> consid. 3.2.3; <ref-ruling> consid. 4.2). En matière d'attribution des droits parentaux, le bien de l'enfant constitue la règle fondamentale (<ref-ruling> consid. 5.4), les intérêts des parents devant être relégués au second plan (<ref-ruling> consid. 3.2.3; <ref-ruling> consid. 5).
Lorsque le juge détermine auquel des deux parents il attribue la garde, il doit évaluer, sur la base de la situation de fait actuelle ainsi que de celle qui prévalait avant la séparation des parties, si l'instauration d'une garde alternée est effectivement à même de préserver le bien de l'enfant. A cette fin, le juge doit en premier lieu examiner si chacun des parents dispose de capacités éducatives, lesquelles doivent être données chez chacun d'eux pour pouvoir envisager l'instauration d'une garde alternée ainsi que l'existence d'une bonne capacité et volonté des parents de communiquer et coopérer, compte tenu des mesures organisationnelles et de la transmission régulière d'informations que nécessite ce mode de garde. A cet égard, on ne saurait déduire une incapacité à coopérer entre les parents du seul refus d'instaurer la garde alternée. En revanche, un conflit marqué et persistant entre les parents portant sur des questions liées à l'enfant laisse présager des difficultés futures de collaboration et aura en principe pour conséquence d'exposer de manière récurrente l'enfant à une situation conflictuelle, ce qui apparaît contraire à son intérêt (<ref-ruling> consid. 3.2.3). Si les parents disposent tous deux de capacités éducatives, le juge doit dans un deuxième temps évaluer les autres critères d'appréciation pertinents pour l'attribution de la garde à l'un des parents.
Au nombre des critères essentiels pour cet examen, entrent en ligne de compte la situation géographique et la distance séparant les logements des deux parents, la capacité et la volonté de chaque parent de favoriser les contacts entre l'autre parent et l'enfant, la stabilité que peut apporter à l'enfant le maintien de la situation antérieure - en ce sens notamment qu'une garde alternée sera instaurée plus facilement lorsque les deux parents s'occupaient de l'enfant en alternance déjà avant la séparation -, la possibilité pour chaque parent de s'occuper personnellement de l'enfant, l'âge de ce dernier et son appartenance à une fratrie ou à un cercle social ainsi que le souhait de l'enfant s'agissant de sa propre prise en charge, quand bien même il ne disposerait pas de la capacité de discernement à cet égard. Les critères d'appréciation précités sont interdépendants et leur importance varie en fonction du cas d'espèce. Ainsi, les critères de la stabilité et de la possibilité pour le parent de s'occuper personnellement de l'enfant auront un rôle prépondérant chez les nourrissons et les enfants en bas âge alors que l'appartenance à un cercle social sera particulièrement importante pour un adolescent. La capacité de collaboration et de communication des parents est, quant à elle, d'autant plus importante lorsque l'enfant concerné est déjà scolarisé ou qu'un certain éloignement géographique entre les domiciles respectifs des parents nécessite une plus grande organisation (<ref-ruling> consid. 3.2.3; arrêt 5A_450/2016 du 4 octobre 2016 consid. 4.3.1 et les références).
Si le juge arrive à la conclusion qu'une garde alternée n'est pas dans l'intérêt de l'enfant, il devra alors déterminer auquel des deux parents il attribue la garde en tenant compte, pour l'essentiel, des mêmes critères d'évaluation et en appréciant, en sus, la capacité de chaque parent à favoriser les contacts entre l'enfant et l'autre parent (<ref-ruling> consid. 3.2.4).
Pour apprécier ces critères, le juge du fait, qui connaît le mieux les parties et le milieu dans lequel vit l'enfant, dispose d'un large pouvoir d'appréciation (<ref-ruling> consid. 3.2.5 et les références; <ref-ruling> consid. 2 et 3). Le Tribunal fédéral n'intervient que s'il s'est écarté sans motif des principes établis par la doctrine et la jurisprudence, lorsqu'il s'est fondé sur des faits qui ne devaient jouer aucun rôle pour la solution du cas d'espèce, ou lorsque, au contraire, il n'a pas tenu compte de circonstances qui auraient impérativement dû être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1 et les références).
5.2. La cour cantonale a relevé qu'en l'espèce, les parties s'accordent sur le fait que chacune d'entre elles dispose de capacités éducatives suffisantes, ce qui était d'ailleurs confirmé par l'ensemble du dossier. Ils s'occupent bien de C._, lui offrent un cadre de vie agréable, veillent à sa santé et à son hygiène et lui proposent des activités variées et enrichissantes et, globalement, sont soucieux de son bien-être. Aucun ne souffre d'une affection, d'une dépendance ou de traits de caractère particuliers qui pourraient altérer sa capacité à s'occuper d'un enfant. Leur capacité de coopérer et de communiquer sereinement entre eux était certes limitée, mais semblait assez équivalente. La lecture du cahier de transmission tenu par les parents permettait de constater que chacun fournit à l'autre les informations nécessaires, ce qui permet à C._ de ne manquer de rien et de résoudre les petites questions d'organisation qui se posent (participation à telle ou telle activité, vêtements à prévoir, etc.), même s'il serait peut-être plus pratique qu'ils se parlent régulièrement.
Selon l'autorité cantonale, le fait que le père habite désormais à U._ alors que la mère vit à V._, où l'enfant est scolarisée, ne pouvait pas s'opposer à une garde alternée, dans la mesure où le transport de C._ à l'école et depuis l'école était assuré. Nombre d'enfants de 3ème année doivent d'ailleurs accomplir des trajets plus longs, à pied, pour se rendre à leur école, que les dix minutes environ qu'il faut en voiture pour relier U._ à V._. La mère ne pouvait donc tirer aucun argument de la distance géographique séparant les domiciles respectifs.
Pour le surplus, la cour cantonale a relevé qu'actuellement, les deux parents s'occupent déjà largement de l'enfant, qui passe selon les semaines trois ou quatre nuits chez son père, en plus de séjours plus longs durant les vacances scolaires. Le passage à une garde alternée représentera certes un changement pour elle, mais il fallait noter que lorsqu'elle se trouve sous la garde de sa mère, elle passe déjà passablement de temps hors du domicile de celle-ci, soit à l'école et à l'accueil parascolaire, en fonction des obligations professionnelles de la mère (emploi à 80% à W._). Le changement serait donc forcément moins important que si la mère n'avait pas d'activité lucrative et se consacrait entièrement à l'éducation de sa fille. Le père est actuellement plus disponible, puisqu'il se trouve au chômage et est donc libre de son temps, sous réserve de démarches de recherche d'un emploi. Cette situation ne devrait pas durer, mais il a évoqué la possibilité de chercher lui aussi un emploi à 80%. Ainsi, on ne pouvait pas considérer que l'un des parents serait plus disponible que l'autre pour avoir durablement l'enfant sous sa propre garde. C._ n'ayant pas de frères et soeurs, elle ne risquait pas d'être séparée de sa fratrie pour des raisons liées à sa garde. En outre, elle avait manifesté assez clairement son désir de passer autant de temps avec chacun de ses parents. Avec les réserves nécessaires s'agissant d'une fillette de six ans, qui ne se représente peut-être pas exactement ce que ce changement signifierait concrètement pour elle, le critère du souhait de l'enfant allait plutôt dans le sens de la solution retenue par le premier juge. Cette solution pouvait d'ailleurs lui apporter une plus grande stabilité (un passage d'un parent à l'autre par semaine, au lieu de deux comme c'est actuellement le cas une semaine sur deux) et limiter la possibilité de petits litiges entre les parents (douche à un moment ou à un autre, médicaments à détenir à la maison, vêtements à remettre, etc.). Ainsi, la mise en place d'une garde alternée était conforme à l'intérêt global de l'enfant. On ne voyait notamment pas en quoi une garde alternée était plus susceptible de provoquer des conflits de loyauté chez l'enfant qu'actuellement, cette solution pouvant même atténuer le problème.
5.3. La recourante fait valoir la violation de l'<ref-law>, exposant qu'aucun fait nouveau qui justifierait de modifier la titularité de la garde n'est intervenu en l'espèce. En outre, elle estime que sur la base d'un établissement manifestement inexact des faits (<ref-law>), la cour cantonale a violé les art. 296 et 298d CC, en particulier les critères posés par la jurisprudence, en optant pour la garde alternée. En substance, la décision entreprise minimiserait les évidents problèmes de communication des parents et ferait abstraction des intérêts de l'enfant.
La recourante conteste en particulier les compétences éducatives du père, pour le motif qu'il aurait amené à plusieurs reprises l'enfant à l'école avec du retard le lundi matin, qu'il aurait omis de l'amener à la structure parascolaire (rapport du 26 février 2016, p. 1, p.-v. d'audition de la recourante du 1er juin 2016), qu'il semblerait qu'il a giflé l'enfant, ce qu'il a d'ailleurs admis (courrier de son mandataire du 29 octobre 2015 et rapport du 29 octobre 2015), qu'il a une attitude virulente envers les professionnels qui entourent l'enfant (rapport du 22 juin 2016 et audition du curateur du 1er juin 2016), qu'il a demandé la révocation du curateur (lettre du 16 septembre 2016), ce qui dénoterait d'un comportement impulsif, et qu'il a refusé de communiquer sa nouvelle adresse, ce qui démontrerait son caractère intransigeant. La recourante ajoute qu'elle est titulaire de la garde de l'enfant depuis sa naissance, que la décision entreprise ne reposerait que sur la " volonté de faire un essai ", que la stabilité que peut apporter à l'enfant le maintien de la situation antérieure est un critère déterminant (l'enfant passant actuellement entre une et quatre nuits par semaine chez son père, et non entre trois et quatre nuits comme l'a retenu arbitrairement l'autorité cantonale, de sorte qu'elle n'aurait en réalité jamais passé sept journées consécutives sans sa mère), que le curateur n'a jamais proposé d'instaurer une garde partagée, mais au contraire, une restriction du droit de visite, qu'il a constaté qu'une garde alternée semble inconcevable (rapport du 26 février 2016 p. 1 et 3), qu'il a indiqué que les parents sont "en total désaccord pour quasiment tous les sujets concernant leur fille " (rapport du 29 octobre 2015), que les parents se trouvent dans une situation de litige chronique, que la seule communication entre eux se fait par le biais d'un cahier d'information ou par l'intermédiaire du curateur, voire à l'aide de l'intervention de l'autorité de protection, de sorte que le fait de qualifier la communication de " normale ", comme l'a fait la cour cantonale, serait arbitraire, et que l'autorité précédente a elle-même reconnu que la capacité des parties de coopérer et de communiquer sereinement est " assez limitée ". A cela s'ajouterait la distance entre les domiciles des parents, non négligeable pour un enfant de six ans, ce qui impliquerait une communication parentale accrue, de sorte qu'il serait arbitraire de retenir qu'elle " ne peut donc tirer aucun argument de la distance géographique séparant les domiciles respectifs ". Quant à la volonté exprimée par l'enfant, vu le jeune âge de celle-ci, elle ne serait pas pertinente, ce d'autant que C._ n'a jamais connu de régime de garde alternée, de sorte qu'elle ne pourrait pas se rendre compte de ce que cela implique, et qu'elle aurait passé la nuit précédent l'audition chez son père. Par ailleurs, se fonder sur le fait que le père est actuellement plus disponible qu'elle pour l'enfant puisqu'il est au chômage, et qu'il cherche un emploi à 80%, serait choquant, puisqu'il a toujours travaillé à plein temps. En définitive, opter pour une garde alternée serait contraire à l'intérêt supérieur de l'enfant.
5.4. En tant que la recourante invoque l'absence de faits nouveaux au sens de l'<ref-law>, on relèvera qu'elle a elle-même requis, dans le cadre de la présente procédure, la modification de l'autorité parentale et du droit de visite en invoquant la survenance de faits nouveaux. Dans ce contexte, il n'apparaît pas contraire au droit fédéral de réexaminer aussi la question de la garde, lorsque d'autres questions relatives à l'enfant sont soulevées et que des faits nouveaux commandent d'entrer en matière, l'ensemble de la situation pouvant alors être revue pour le bien de l'enfant.
Concernant l'attribution de la garde, la cour cantonale a établi les faits pertinents et procédé à un examen minutieux des critères posés par la jurisprudence.
Au préalable il faut relever, comme précédemment concernant la question de l'autorité parentale (cf. supra consid. 4.4), que les éléments de fait qui ne font pas l'objet d'une critique conforme au principe d'allégation ne peuvent être pris en considération (cf. supra consid. 2.2). S'agissant de l'argumentation de la recourante relative aux capacités éducatives du père, les éléments invoqués ne sont quoi qu'il en soit pas de nature à démontrer qu'elles sont déficientes. Elle ne conteste d'ailleurs pas le fait que, tout comme elle, le père offre à l'enfant un cadre de vie agréable, est soucieux de son bien-être et lui propose des activités variées et enrichissantes. Ainsi, la cour cantonale n'a pas erré en considérant qu'il dispose de capacités éducatives suffisantes. Quant à la communicationentre les parents à propos de l'enfant, le seul fait qu'elle se déroule sous forme d'un cahier de transmission ne signifie pas qu'elle serait déficiente. Si, comme l'a souligné l'autorité précédente, il serait évidemment plus pratique que les parents puissent se parler régulièrement, il n'en demeure pas moins que le mode de communication mis en place permet concrètement à l'enfant de ne manquer de rien et de résoudre les questions organisationnelles qui se posent, ce que la recourante ne remet d'ailleurs pas en cause. En ce qui concerne la distance entre les domiciles respectifs des parents, la recourante se contente d'affirmer qu'elle aurait pour effet de nécessiter une communication accrue entre les parents, sans contester que le trajet entre le domicile du père et l'école est assuré, ni qu'il dure seulement environ dix minutes. La recourante omet d'ailleurs que selon les constatations de l'autorité cantonale, qui ne prêtent pas le flanc à la critique, la mise sur pied d'une garde alternée à raison d'une semaine sur deux auprès de chacun des parents permettra en l'occurrence de réduire le nombre de passages entre les parents à un seul par semaine, ce qui sera positif pour l'enfant.
S'agissant du critère de la stabilité de l'enfant, en tant que la recourante prétend que l'enfant n'a à ce jour jamais passé une semaine sans elle, elle omet que selon les constatations de l'autorité cantonale, qu'elle ne conteste pas, C._ a passé des séjours plus longs que quatre nuits par semaine durant les vacances scolaires. Le seul fait que la mère ait été seule titulaire de la garde de l'enfant jusqu'à présent ne permet au demeurant pas, en soi, d'exclure la garde alternée, chacun des critères posés par la jurisprudence étant interdépendants, et leur importance respective variant en fonction du cas d'espèce (cf. supra consid. 5.1). En l'occurrence, la cour cantonale a aussi tenu compte, à juste titre, du fait que l'instauration d'une garde alternée n'engendrera pas la séparation d'une fratrie, ainsi que de la volonté exprimé par C._. En tant que la recourante s'oppose à la prise en compte de la volonté exprimée par sa fille, on ne saurait la suivre. Conformément à la jurisprudence, la cour cantonale a pris en compte l'audition de l'enfant, âgée de 6 ans, en tant que moyen de preuve destiné à établir les faits. Elle a d'ailleurs pris en considération ses dires avec les réserves nécessaires, vu le jeune âge de l'enfant, relevant simplement que la volonté exprimée allait plutôt dans le sens de l'appréciation de l'ensemble des autres critères. En tant que la recourante expose que l'on ne saurait tenir compte, dans le cadre de l'examen des disponibilités respectives des parents, du fait que le père se trouve actuellement au chômage et qu'il envisage de chercher un travail à 80%, il faut souligner que quoi qu'il en soit, la recourante travaille à 80% à W._, et que selon les constatations non remises en causes de l'arrêt cantonal, l'enfant passe déjà passablement de temps hors du domicile de sa mère durant la semaine, soit à l'école, soit à l'accueil parascolaire, en fonction des obligations professionnelles de sa mère. Partant, quand bien même le père trouverait finalement un travail à 80 ou à 100%, on ne saurait considérer que la mère est notablement plus disponible que lui pour s'occuper personnellement de l'enfant. Partant, en l'espèce, la constatation selon laquelle aucun des parents n'est plus disponible que l'autre pour avoir l'enfant durablement sous sa garde et s'occuper de lui n'est pas critiquable. Quant à l'argument selon lequel le curateur a considéré que la garde alternée n'était pas envisageable, on relèvera qu'il appartient au juge, et non au curateur, de déterminer si, au vu des faits retenus, il convient d'attribuer la garde exclusive ou la garde alternée (arrêt 5A_609/2016 du 13 février 2017 consid. 4.4 et les références rendu à propos de l'autorité parentale).
Vu ce qui précède, l'autorité précédente n'a pas abusé du pouvoir d'appréciation qui est le sien (cf. supra consid. 2.3 et 5.1 in fine) en ordonnant l'instauration de la garde alternée.
6.
La garde alternée étant confirmée, les griefs développés par la recourante en lien avec le droit de visite du père deviennent sans objet.
7.
La recourante conclut à ce qu'aucune médiation ne soit ordonnée.
7.1. L'autorité précédente a relevé à ce sujet que contrairement à ce que soutenait la mère dans son recours, le Tribunal fédéral n'a pas nié a priori toute utilité à une médiation ordonnée par l'autorité de protection de l'enfant contre l'avis de l'un des parents. Elle a constaté qu'en l'espèce, une première tentative de médiation avait échoué. Cette tentative s'était toutefois limitée à un entretien des deux parents avec un médiateur, puis à un entretien individuel de chacun des parents avec celui-ci. On ne pouvait pas exclure qu'une nouvelle médiation apporte un peu de sérénité aux rapports entre les parents. Les décisions prises et la nouvelle organisation de la garde pourraient leur permettre d'envisager leur situation différemment et de préférer, à l'avenir, rechercher ensemble des solutions adaptées au bien de C._, qu'ils semblaient avoir un peu perdu de vue dans l'élan des conflits qui les opposent. Une médiation pouvait les aider dans cette démarche, pour autant qu'ils y mettent un peu de bonne volonté. Dans cette optique, le fait d'ordonner une médiation répondait à l'intérêt de l'enfant, même s'il était prématuré aujourd'hui de compter sur un résultat positif.
7.2. Se fondant sur l'arrêt 5A_923/2014 du 27 août 2015 consid. 5.3 [recte: 5.4], la recourante expose que lorsque des négociations informelles en cours de procédure s'avèrent déjà impossibles, une médiation n'a pas de chances d'aboutir, de sorte qu'il s'impose d'y renoncer. En outre, dès lors qu'en l'espèce, l'instauration de la garde alternée violerait " de manière crasse l'intérêt de l'enfant ", la nouvelle médiation n'aurait plus lieu d'être et ne serait elle-même pas dans l'intérêt de l'enfant.
7.3. En tant que la recourante se fonde sur la prémisse selon laquelle la garde alternée serait contraire à l'intérêt de l'enfant, sa critique doit être écartée d'emblée, dès lors que les griefs formulés en lien avec la garde alternée ont été rejetés (cf. supra consid. 5.4). Pour le surplus, il faut rappeler que la médiation est une mesure admissible de protection de l'enfant au sens de l'<ref-law> (arrêts 5A_852/2011 du 20 février 2012 consid. 6; 5A_457/2009 du 5 décembre 2009 consid. 4). Contrairement à ce que soutient la recourante, on ne saurait exclure de manière systématique la voie de la médiation pour le motif que les négociations informelles des parties en cours de procédure auraient abouti à un échec. Une médiation a d'ailleurs précisément pour but de tenter de parvenir à un accord entre les parties. A cela s'ajoute que dans l'affaire citée par la recourante, la situation était différente du présent cas, puisque les parents n'arrivaient pas à s'entendre sur les questions relevant de l'autorité parentale, même avec l'aide d'une curatrice; par conséquent, il était préférable de retirer l'autorité parentale à l'un des parents plutôt que d'ordonner une médiation (arrêt 5A_923/2014 du 27 août 2015 consid. 5.4 non publié in <ref-ruling>). En l'espèce, il faut relever que l'aide du curateur a été profitable aux parents de C._ et leur a permis de trouver des solutions, de sorte que l'on ne peut pas affirmer a priori que la médiation est vouée à l'échec. Elle permettra d'accompagner les parents dans la mise en place concrète de la garde alternée et, à terme, de pouvoir envisager une suppression de la curatelle.
8.
En conclusion, le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité, aux frais de la recourante (<ref-law>). Elle versera en outre à l'intimé, qui a obtenu gain de cause s'agissant de l'effet suspensif, mais n'a pas été invité à se déterminer sur le fond, une indemnité de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

rulings:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Une indemnité de 200 fr., à verser à l'intimé à titre de dépens, est mise à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au curateur, et à la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 4 mai 2017
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant : Escher
La Greffière : Dolivo


facts:
Faits :
A.
A.a. C._ SA (devenue D._ SA le 15 juin 2009; ci-après: la banque ou C._) était un établissement bancaire, ayant son siège à Zurich, qui était une filiale à 100% de la banque E._; C._ exploitait une succursale à Lausanne.
Le 29 septembre 1995, B._ (demandeur), né en 1952, et la banque ont conclu un contrat d'apporteur d'affaires. Il a été convenu que le précité, comme indépendant, apporterait à la banque diverses relations d'affaires tant financières que commerciales, qui seraient traitées ou gérées par les cadres spécialisés de C._. Il percevrait une rémunération sous la forme de rétrocessions de 331/3% sur les " droits de garde nets ", les " courtages nets ", les " commissions de gestion ", le " produit net de l'encaissement de coupons " et les " commissions documentaires et autres ", ainsi que sous la forme de rétrocessions au même taux sur les marges nettes réalisées par la banque sur les opérations devises et les intérêts débiteurs et créanciers (<ref-law>). Le prénommé a principalement exercé son activité auprès de la succursale lausannoise de la banque.
L'une des relations d'affaires apportées par le demandeur a été une convention d'apporteur d'affaires tripartite conclue le 26 janvier 1996 entre la banque, le demandeur et F._ Limited, dont le siège est à l'Ile de Man (Royaume-Uni). Cet accord prévoyait notamment le paiement d'une commission en faveur de F._ Limited à chaque ouverture de compte auprès de la banque par l'intermédiaire du demandeur.
En raison de nouvelles directives émises par la Commission fédérale des banques, C._ a considéré en mai 1998 que le statut du demandeur devait être modifié. Après discussion avec celle-ci, B._ a choisi de continuer son activité au sein de la banque en qualité de salarié.
Les parties ont alors conclu le 26 janvier 1999 un contrat de travail de durée indéterminée, selon lequel le demandeur était engagé dès le 1er mars 1999 en tant que directeur adjoint de la banque, responsable de la clientèle internationale, moyennant versement d'un salaire brut annuel de 240'000 fr., sous déduction des cotisations légales, versé en treize mensualités; sous l'intitulé " gratification ", il était prévu qu'en mars un bonus était payable à bien plaire. Ce contrat, qui stipulait un délai de congé de six mois, a été signé par le demandeur ainsi que par G._ et H._, respectivement directeur général et directeur adjoint de la banque.
Parallèlement à ses activités pour la banque, le demandeur exerçait, avec l'accord de cette dernière, des mandats pour le compte de différentes sociétés. Les clients amenés à la banque par le demandeur devenaient formellement ceux de la première, mais restaient en réalité ceux du second, car le demandeur devait pouvoir reprendre sa clientèle lorsque le contrat prendrait fin.
Selon la cour cantonale, l'intention des parties contractantes était de conserver, sous l'empire du contrat de travail, une rémunération équivalente à celle qu'avait touchée le demandeur en vertu de son contrat d'apporteur d'affaires indépendant, soit des rétrocessions de 331/3% sur les affaires amenées par celui-ci.
Aucun décompte annuel calculant le droit aux commissions du demandeur n'a été établi par la banque. Le témoin G._, directeur général de la banque jusqu'au mois de mars 2001, a déclaré qu'il y avait eu une estimation globale des affaires apportées et qu'il avait fait, sur cette base, une proposition de bonus au demandeur.
Le 8 mars 2000, la banque a informé le demandeur qu'un montant de 20'000 fr. lui serait versé à titre de gratification pour l'année 1999.
En février 2001, la banque a remis au demandeur une gratification totale de 145'000 fr. pour l'année 2000.
Pour l'année 2001, la banque a versé au demandeur un salaire brut de 383'225 fr., plus 9'000 fr. à titre d'indemnité pour frais de représentation; elle lui a versé en mars 2002 une gratification de 120'000 fr. pour l'exercice 2001.
Dans le courant de l'année 2001, le demandeur a réclamé à J._, qui avait succédé en avril 2001 à G._ au poste de directeur général de la banque, le versement des rétrocessions discutées avec ce dernier. J._ n'est pas entré en matière (<ref-law>).
A.b. Dans le courant de 2002, la direction de la banque a découvert que deux de ses employés avaient perpétré diverses infractions au détriment de clients; elle a déposé plainte pénale à leur encontre les 26 juillet et 6 novembre 2002.
A la suite de ces événements, les activités du demandeur ont été examinées dans le cadre d'un audit interne mis en oeuvre à la fin 2002. Ces investigations ont amené la banque à requérir des explications complémentaires du demandeur à propos de versements et prélèvements opérés sur deux comptes dénommés X._et Y._; B._ a ainsi été convoqué pour un entretien qui s'est tenu le 25 novembre 2002 en présence du directeur général d'alors de la banque, J._.
Estimant peu satisfaisantes les réponses apportées par le demandeur lors de l'entretien précité, la banque l'a licencié le même jour avec effet au 31 mai 2003 pour rupture du rapport de confiance et l'a libéré immédiatement de son obligation de travailler.
La banque a décidé de ne plus reconnaître la signature du demandeur; ce blocage de signature a provoqué une importante perte de crédibilité de ce dernier auprès de sa clientèle.
En 2002, C._ a versé au demandeur un salaire annuel brut de 359'720 fr., plus 9'000 fr. de frais de représentation. Cette année-là, l'intéressé a été le gestionnaire le plus rentable de la banque.
Dans son rapport annuel de 2002, la banque a fait état d'une perte de 13'353'471 fr.
A.c. Le 26 novembre 2002, le demandeur a été engagé à compter du 1er juin 2003 par la banque K._ SA (ci-après: K._) en qualité de directeur de la succursale de Lausanne; le contrat prévoyait un salaire annuel brut de 249'000 fr., l'octroi de frais de représentation et un salaire variable à hauteur de 12,5% du résultat annuel de la succursale jusqu'à un bénéfice de 2,5 millions de francs et de 16,5% du bénéfice supplémentaire.
En janvier 2003, la banque a avisé L._, ancien collaborateur de celle-ci devenu directeur de la succursale lausannoise de K._, que le demandeur allait avoir de " gros problèmes ".
Il a été retenu que la banque a dénigré le demandeur auprès de sa clientèle.
Par écriture du 7 mars 2003, C._ a informé la Commission fédérale des banques que le demandeur avait joué un rôle actif dans des transactions qui constituaient, à ses yeux, des indices de blanchiment, même si rien ne laissait supposer à ce stade que ces transactions aient un lien avec des activités criminelles.
A la suite de ce courrier, la Commission fédérale des banques a confié à M._ SA, à Genève, un mandat de révision extraordinaire portant sur les comptes gérés par le demandeur au sein de la banque.
A.d. Le 17 avril 2003, la banque a licencié le demandeur avec effet immédiat pour justes motifs. Elle a fait valoir que de récentes investigations conduites par son nouveau service de compliance avaient mis à jour des fautes particulièrement graves qu'il aurait commises dans l'exercice de ses fonctions.
Le versement du salaire du demandeur a été interrompu ce même jour; il n'a pas perçu de gratification pour l'année 2002 et aucun certificat de travail ne lui a été délivré.
Requise de motiver le congé abrupt, la banque s'y est refusée.
Le 15 mai 2003, la banque a déposé plainte pénale contre le demandeur auprès du Juge d'instruction cantonal vaudois.
Dans son rapport du 13 juin 2003, l'organe de révision extraordinaire M._ SA a relevé que les contrôles effectués n'ont rien révélé de particulier pouvant faire croire que le demandeur n'aurait pas satisfait à ses obligations de " due diligence ". M._ SA a signalé un manque général d'organisation de la banque, des lacunes dans l'établissement des " profils clients " ayant été constatées dans ses succursales de Genève, Lausanne et Lugano.
Le 16 juin 2003, la banque a écrit à F._ Limited qu'elle considérait que la convention d'apporteur d'affaires tripartite conclue le 26 janvier 1996 ne la liait plus.
Le 30 octobre 2003, la banque a fait notifier au demandeur un commandement de payer le montant de 2'000'000 fr.; le poursuivi y a fait opposition totale. Cette poursuite, renouvelée le 30 septembre 2004, a derechef été frappée d'opposition totale.
Par courrier du 5 décembre 2003, K._ a licencié le demandeur pour le 29 février 2004 en raison de l'enquête pénale diligentée à son encontre. Elle a également résilié pour le 31 décembre 2004 au plus tard les deux crédits hypothécaires consentis en sa faveur.
Il résulte d'un rapport de la police cantonale vaudoise du 28 mai 2004 que l'examen attentif en particulier des comptes X._et Y._ n'a pas mis à jour la découverte de mouvements de fonds pouvant laisser entrevoir la commission d'actes délictueux du demandeur.
Par ordonnance du 1er novembre 2004, le Juge d'instruction cantonal a prononcé un non-lieu dans l'enquête ouverte contre le demandeur pour abus de confiance, gestion déloyale, faux dans les titres, blanchiment d'argent et défaut de vigilance en matière d'opérations financières, les frais étant mis à la charge du prévenu en raison d'un comportement fiscalement répréhensible.
Sur recours du demandeur, le Tribunal d'accusation du canton de Vaud, par arrêt du 9 décembre 2004, a partiellement réformé cette décision en ce sens que les frais de la cause ont été mis pour moitié à la charge du prévenu, l'autre moitié étant mise à la charge de la banque, singulièrement pour le motif que l'enquête avait démontré que la plainte de la banque contenait des éléments que celle-ci savait être erronés.
B.
B.a.
B.a.a. Après lui avoir fait notifier une poursuite le 18 janvier 2005, frappée d'opposition, B._ a ouvert action le 11 mai 2005 contre C._ (défenderesse) devant la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois. Le demandeur a conclu à ce que la défenderesse lui doive paiement du montant de 4'391'000 fr.70 plus intérêts à 5% l'an dès le 25 novembre 2002 (I), à ce que l'opposition à la poursuite du 18 janvier 2005 soit définitivement levée (II) et à ce que la banque lui délivre un certificat de travail (III).
Par mémoire-réponse du 17 août 2005, la banque a conclu au déboutement du demandeur. Reconventionnellement, elle a requis que celui-ci soit déclaré son débiteur de la somme de 2'432'722 fr.60, avec intérêts à 5% l'an dès le 25 novembre 2002, à titre de dommages-intérêts pour les frais d'audits interne et externe, ainsi que pour les frais de représentation de la banque par un avocat dans des procédures administratives et pénales que cette dernière a dû engager.
Dans sa réplique du 14 novembre 2005, le demandeur a conclu au rejet des conclusions reconventionnelles.
La défenderesse a déposé une duplique le 17 janvier 2006.
Le Juge instructeur de la Cour civile a tenu l'audience préliminaire le 27 avril 2006. Le 12 mai 2006, ce magistrat a rendu une ordonnance sur preuves au sens de l'art. 282 du Code de procédure civile vaudois du 14 décembre 1966 (CPC/VD).
Le Juge instructeur a procédé à l'audition de 17 témoins, les parties étant convenues à l'audience préliminaire de faire entendre les témoins avant la mise en oeuvre de la preuve par expertise.
B.a.b. Le 18 mars 2009, le demandeur a introduit une requête de réforme tendant au dépôt d'une réplique complémentaire comprenant des allégués cotés 580 à 644.
Par mémoire incident du 25 mai 2009, la défenderesse a conclu au rejet de la requête de réforme et allégué, en se référant à l'<ref-law>, qu'une " éventuelle créance au titre des rétrocessions (que le demandeur) prétend encaisser pour les années 1999 à 2002 serait de toute évidence prescrite".
Par jugement incident du 26 mai 2009, le Juge instructeur a admis la requête de réforme du demandeur, lequel a déposé le 26 juin 2009 un mémoire de réplique après réforme contenant les nouveaux allégués mentionnés dans la requête incidente.
Le 20 août 2009, la banque a déposé un mémoire de duplique complémentaire après réforme contenant de nouveaux allégués.
B.a.c. Le juge instructeur a tenu le 25 mars 2010 une audience préliminaire après réforme et rendu le même jour une ordonnance sur preuves après réforme.
B.a.d. A la suite d'une fusion, l'ensemble des actifs et passifs de D._ SA (jusqu'au 14 juin 2009 C._) ont été transférés à A._ SA, dont le siège est à Genève, selon une publication parue dans la FOSC le 5 août 2009.
B.a.e. En cours d'instance, le Juge instructeur a confié une expertise comptable à N._, employé de la société fiduciaire O._ SA, afin qu'il détermine en particulier la perte de gain subie par le demandeur jusqu'à l'âge de la retraite, provoquée par son licenciement immédiat. Considérant, dans ses rapports des 28 mai 2008 et 17 février 2010, que le revenu net moyen obtenu par le demandeur auprès de la banque en 2001 et 2002 était de 347'000 fr. et que ce dernier pouvait prétendre à l'avenir, après les problèmes qu'il a rencontrés avec la banque, à un revenu net de seulement 87'000 fr., l'expert a chiffré à 260'000 fr. la perte de gain moyenne nette par an du travailleur; en capitalisant ce montant jusqu'à l'âge de la retraite du demandeur au taux de 9,09%, la perte de gain future se montait à 2'363'400 fr.
Le 16 juin 2011, le demandeur a déposé une requête en augmentation de sa conclusion I, tendant à ce que la défenderesse lui doive paiement du montant total de 7'848'047 fr.70 avec divers intérêts.
La défenderesse ne s'est pas opposée à cette augmentation de conclusions.
Une seconde expertise comptable a été ordonnée par le Juge instructeur, portant sur les nouveaux allégués introduits après réforme; elle a été confiée à l'expert-comptable P._, employé de Q._ SA. Il résulte notamment de son rapport, établi le 30 avril 2011, et de son rapport complémentaire, du 29 juin 2012, que le demandeur pouvait prétendre à titre de salaires pour les années 1999 à 2002, en application des principes de rémunération prévus par le contrat d'apporteur d'affaires du 29 septembre 1995, à 827'000 fr. du 1er mars au 31 décembre 1999, à 1'780'000 fr. du 1er janvier au 31 décembre 2000, à 1'119'500 fr. du 1er janvier au 31 décembre 2001 et à 935'000 fr. du 1er janvier au 31 octobre 2002. Ces montants comprennent les rétrocessions sur les opérations de gestion de fortune, les commissions documentaires et autres commissions, les opérations sur devises et la marge d'intérêts (intérêts débiteur et créancier).
B.b. Par jugement du 6 novembre 2013, la Cour civile a dit que la défenderesse A._ SA devait payer au demandeur les sommes suivantes: 4'137'454 fr.25, sous déduction des cotisations légales, avec intérêts à 5% l'an dès le 17 avril 2003, représentant le salaire dû en application de l'<ref-law>; 211'886 fr.36, avec intérêts à 5% l'an dès le 17 avril 2003, à titre d'indemnité pour congé abrupt injustifié; 1'273'677 fr.80, avec intérêts à 5% l'an dès le 3 janvier 2009, à titre d'indemnité au sens de l'<ref-law> pour la perte de gain actuelle; 360'784 fr.30, avec intérêts à 5% l'an dès le 6 novembre 2013, à titre d'indemnité au sens de l'<ref-law> pour la perte de gain future; 10'000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 15 mai 2003 à titre d'indemnité pour tort moral. La cour cantonale a encore levé définitivement l'opposition à la poursuite du 18 janvier 2005 à concurrence de 1'273'677 fr.80 avec intérêts à 5% l'an dès le 3 janvier 2009, 360'784 fr.30, avec intérêts à 5% l'an dès le 6 novembre 2013 et 10'000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 15 mai 2003, dit que la défenderesse devait délivrer au demandeur dans les 30 jours un certificat de travail, arrêté les frais de justice à 157'446 fr.10 pour le demandeur et à 70'225 fr.20 pour la défenderesse, dit que la défenderesse versera au demandeur le montant de 220'446 fr.10 à titre de pleins dépens et rejeté toutes autres ou plus amples conclusions.
Pour la Cour civile, l'exception de prescription n'a pas été soulevée par la banque dans les formes prescrites par la procédure cantonale vaudoise. La défenderesse a échoué à établir l'existence de justes motifs de congé immédiat du demandeur, de sorte que celui-ci a droit à une indemnité punitive et réparatrice (<ref-law>) correspondant à deux mois de salaire. Le contrat de travail signé le 26 janvier 1999 était un contrat simulé, car la commune et réelle intention des parties était que le travailleur reçoive une rémunération équivalente à celle qu'il percevait en vertu du contrat d'apporteur d'affaires conclu le 29 septembre 1995. Selon les principes de rémunération résultant dudit contrat, le demandeur a droit à un solde de salaire (<ref-law>) arrêté à 4'137'454 fr.25 pour la période du 1er mars 1999 au 31 mai 2003, après déduction des montants que lui a versés la défenderesse pendant la même période. En déposant plainte pénale contre le demandeur pour des faits qu'elle savait inexacts et en le dénonçant pour les mêmes faits à la Commission fédérale des banques, puis en le dénigrant auprès de la clientèle, la défenderesse a porté atteinte de manière illicite à son honneur (interne et externe) et commis une faute au sens de l'<ref-law>. En raison des agissements de la banque, le demandeur ne pouvait plus exercer sa profession comme cadre supérieur d'un établissement bancaire. Les actes illicites commis par la banque sont la cause naturelle et adéquate du dommage subi par le demandeur du fait de son incapacité à retrouver un emploi salarié. Au regard d'une perte de gain annuelle nette de 131'194 fr.28, la perte de gain actuelle du demandeur, depuis la fin février 2004 (échéance du congé donné par K._) jusqu'au 6 novembre 2013 (date du jugement), doit être arrêtée à 1'273'677 fr.80. En capitalisant au facteur 2,75 le montant de 131'194 fr.28, la perte de gain future jusqu'à l'âge de 65 ans se monte à 360'784 fr.30. Les actes dommageables illicites commis par la défenderesse ont détruit la carrière professionnelle du demandeur, lequel bénéficiait d'un statut de directeur de banque, de sorte que l'importance de l'atteinte portée à sa réputation professionnelle justifie l'octroi d'une indemnité satisfactoire au sens de l'<ref-law> d'un montant de 10'000 fr. Il est manifeste que la défenderesse doit délivrer au demandeur un certificat de travail conforme à l'<ref-law>. Enfin, le demandeur n'a pas causé de dommage à son ancien employeur dans le sens de l'<ref-law>, de sorte que les conclusions reconventionnelles de la banque en paiement de dommages-intérêts sont totalement infondées.
B.c. Saisie d'un appel de la défenderesse, qui a repris l'ensemble de ses conclusions de première instance, la Cour d'appel civile, par arrêt du 9 octobre 2015, l'a rejeté, le jugement attaqué étant confirmé.
C.
A._ SA exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal. Elle conclut principalement à l'annulation de cet arrêt et à ce que le demandeur soit débouté de l'ensemble de ses conclusions, sous réserve de la somme de 72'543 fr.35 avec intérêts à 5% l'an dès le 17 avril 2003 qu'elle reconnaît lui devoir à titre d'indemnité pour licenciement abrupt injustifié. Subsidiairement, elle requiert le renvoi de la cause à la cour cantonale pour instruction complémentaire et nouvelle décision dans le sens des considérants.
La recourante requiert que l'effet suspensif soit octroyé à son recours sous réserve de la somme de 72'543 fr.35 avec intérêts à 5% l'an dès le 17 avril 2003 qu'elle admet devoir à son adverse partie.
L'intimé propose le rejet du recours.
La recourante a répliqué et l'intimé a dupliqué.

considerations:
Considérant en droit :
1.
1.1. Interjeté en temps utile (<ref-law>) par la défenderesse, qui a succombé sur ses conclusions libératoires et qui a ainsi la qualité pour recourir (<ref-law>), dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière civile (<ref-law>) par un tribunal supérieur statuant sur recours (<ref-law>) dans une affaire pécuniaire de droit du travail dont la valeur litigieuse est largement supérieure à 15'000 fr. (<ref-law>), le recours en matière civile est recevable au regard de ces dispositions.
1.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Relèvent de ces faits tant les constatations relatives aux circonstances touchant l'objet du litige que celles concernant le déroulement de la procédure conduite devant l'instance précédente et en première instance, c'est-à-dire les constatations ayant trait aux faits procéduraux (<ref-ruling> consid. 1.3.1 et les références). Le Tribunal fédéral ne peut rectifier les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). "Manifestement inexactes" signifie ici "arbitraires" (<ref-ruling> consid. 2 p. 117; <ref-ruling> consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266 et les références). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18 et les références). Si elle souhaite obtenir un complètement de l'état de fait constitutif d'une violation du droit, elle doit aussi démontrer, par des renvois précis aux pièces du dossier, qu'elle a présenté aux autorités précédentes, en conformité avec les règles de la procédure, les faits juridiquement pertinents à cet égard et les moyens de preuve adéquats (<ref-ruling> consid. 2 p. 90). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18).
2.
2.1.
2.1.1. La recourante affirme que la cour cantonale, en retenant que l'exception de prescription ne saurait être invoquée dans une procédure incidente, a consacré une application arbitraire du droit cantonal de procédure alors applicable, en particulier des <ref-law>/VD. Il serait ainsi indéfendable de lui interdire d'exciper de la prescription dans la procédure incidente qui a permis au demandeur d'introduire dans le procès de nouvelles prétentions auxquelles la défenderesse entend précisément opposer la prescription. Pour la recourante, la Cour d'appel paralyserait sans motif objectif et au mépris du sentiment de la justice l'exercice d'un droit institué par le droit fédéral, soit l'<ref-law>. A l'en croire, il serait artificiel de distinguer les écritures effectuées lors d'incidents de procédure et les écritures au fond, car il s'agirait en réalité d'une seule et même procédure inscrite au rôle sous le même numéro de cause; peu importerait que la procédure incidente se déroulerait devant le Juge instructeur de la Cour civile, et non pas devant la Cour civile, puisque le Juge instructeur est un magistrat délégué par la Cour civile.
2.1.2. L'autorité cantonale a jugé que la procédure civile vaudoise impose que la prescription soit invoquée dans la procédure écrite, soit dans les écritures au sens des <ref-law>/VD, que sont la demande, la réponse, la réplique et la duplique, lesquelles servent aux parties à articuler en une fois, autant que faire se peut, tous leurs moyens d'attaque et de défense. La prescription ne saurait être soulevée dans une procédure incidente, qui est distincte de la procédure écrite (cf. arrêt attaqué, consid. 3c).
2.1.3. Par l'effet de l'<ref-law>, la procédure de première instance est demeurée soumise à l'ancien droit cantonal, soit au code de procédure civile vaudois du 14 décembre 1966 (CPC/VD).
Bien qu'elle relève du droit matériel, la prescription doit être soulevée selon les formes et au stade prévus par la procédure (arrêt 4A_210/2010 du 1er octobre 2010 consid. 7.1.1, non publié in <ref-ruling>; <ref-ruling> consid. 3a). C'est ainsi au droit cantonal vaudois qu'il appartient de fixer le moment du procès où cette exception peut être soulevée (JdT 2000 III 66 consid. 5a et les références de doctrine).
En procédure civile vaudoise, la jurisprudence exige que le moyen de la prescription soit invoqué avec le fond, sous la forme d'une déclaration expresse dans la procédure écrite, avant la clôture de l'instruction préliminaire (JdT 2000 III 66 consid. 5b; 1961 III 95 in medio; POUDRET ET AL., Procédure civile vaudoise, 3e éd. 2002, n° 3 ad <ref-law>/VD, p. 421).
2.1.4. In casu, la recourante s'est prévalue pour la première fois de la prescription dans son mémoire incident du 25 mai 2009, par lequel elle a conclu au rejet de la requête de réforme présentée le 18 mars 2009 par l'intimé, laquelle tendait à l'introduction de nouveaux allégués dans une réplique complémentaire.
La recourante n'a jamais excipé de la prescription dans ses écritures de fond, c'est-à-dire dans sa réponse du 17 août 2005, dans sa duplique du 17 janvier 2006 et sa duplique complémentaire après réforme du 20 août 2009.
Au vu de la jurisprudence vaudoise, il n'est pas arbitraire de dire qu'elle était irrecevable à le faire dans la procédure incidente de réforme, qui visait à l'introduction dans le procès de nouveaux allégués par le biais d'une réplique complémentaire.
La cour cantonale n'a pas violé de manière insoutenable le droit cantonal en admettant, à l'instar de la Cour civile, que l'exception de prescription n'a pas été soulevée dans les formes prescrites par la procédure civile vaudoise.
2.2.
2.2.1. La recourante soutient que le Juge instructeur, dans le jugement incident du 26 mai 2009, a reconnu qu'elle avait valablement soulevé le moyen tiré de la prescription dans son mémoire du 25 mai 2009, de sorte qu'elle était légitimée à considérer que l'exception avait été présentée dans le respect des normes requises et qu'elle n'avait pas à l'invoquer une seconde fois dans sa duplique complémentaire après réforme du 20 août 2009. Pour ne l'avoir pas admis, la Cour d'appel a violé le principe de la bonne foi (art. 5 al. 3 et 9 Cst.).
2.2.2. Aux termes de l'art. 5 al. 3 Cst., les organes de l'Etat et les particuliers doivent agir de manière conforme aux règles de la bonne foi. Cela implique notamment qu'ils s'abstiennent d'adopter un comportement contradictoire ou abusif. De l'art. 9 Cst. découle le droit de toute personne à la protection de sa bonne foi dans ses relations avec l'Etat (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 261 et l'arrêt cité).
Le droit à la protection de la bonne foi garantit ainsi à l'administré le droit d'être protégé dans la confiance que celui-ci place légitimement dans les assurances qu'il reçoit des autorités. L'administré peut, à certaines conditions, exiger de l'autorité qu'elle se conforme aux promesses ou aux assurances qu'elle lui a faites et ne trompe pas la confiance qu'il a légitimement placée dans celles-ci. De jurisprudence constante, ces conditions sont les suivantes. Il faut: a) que l'autorité soit intervenue dans une situation concrète à l'égard de personnes déterminées; b) qu'elle ait agi ou soit censée avoir agi dans les limites de sa compétence; c) que l'administré n'ait pu se rendre compte immédiatement de l'inexactitude de l'acte selon lequel il a réglé sa conduite; d) qu'il se soit fondé sur l'acte en question pour prendre des dispositions qui ne peuvent être modifiées sans préjudice; e) que la loi n'ait pas changé depuis le moment où l'assurance a été donnée (cf. <ref-ruling> consid. 6.1 p. 636 s. et les nombreuses références citées; arrêt 4A_93/2012 du 21 mai 2012 consid. 4.3, résumé in JdT 2013 II 201).
2.2.3. Dans le jugement incident du 26 mai 2009, le Juge instructeur a écrit que la défenderesse " fait valoir qu'une éventuelle créance au titre des rétrocessions pour les années 1999 à 2002 serait prescrite ".
Il s'agit là d'une pure constatation dénuée d'appréciation juridique. La recourante ne peut déduire de cette simple phrase dudit jugement incident une assurance qu'elle a soulevé dans les formes requises l'exception de prescription. En effet, le Juge instructeur n'est pas compétent pour statuer sur le fond du litige, mais bien la Cour civile (cf. art. 318, 318a et 318b CPC/VD). Le jugement qu'il rend dans le cadre d'une procédure incidente ne bénéficie pas de l'autorité de la chose jugée.
En d'autres termes, la recourante ne peut pas exiger d'être protégée dans la confiance qu'elle s'est plu à accorder à un considérant du jugement incident.
Aucune transgression des art. 5 al. 3 et 9 Cst. n'entre en ligne de compte.
2.3.
2.3.1. La recourante invoque également la protection constitutionnelle contre le formalisme excessif. Elle allègue qu'en exigeant que l'exception de prescription soit invoquée dans la procédure principale au fond, et non dans une procédure incidente, l'autorité cantonale pose une exigence procédurale qui n'a pas de justification ou de but légitime, mais entrave la réalisation du droit matériel.
2.3.2. La prohibition du formalisme excessif est une forme de déni de justice contraire à l'art. 29 al. 1 Cst.; il survient lorsque des règles de procédure sont appliquées avec une rigueur que ne justifie aucun intérêt digne de protection, au point que la procédure devient une fin en soi et empêche ou complique de manière insoutenable l'application du droit (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; <ref-ruling> consid. 5 p. 253). L'excès de formalisme peut se trouver dans la règle de comportement qui est imposée au plaideur ou dans la sanction qui est attachée à cette règle (ATF <ref-ruling>, ibid.; <ref-ruling> p. 170 consid. 3a; <ref-ruling> p. 179 consid. 2b/aa).
2.3.3. La prescription étant un moyen de fond, on ne voit pas que la cour cantonale a entravé l'application du droit fédéral en exigeant que cette exception de droit civil soit invoquée expressément dans la procédure principale. La recourante n'a jamais prétendu qu'elle aurait été empêchée d'exciper de l'exception de prescription dans les écritures qu'elle a déposées dans la procédure écrite au fond, soit dans sa réponse, sa duplique et sa duplique complémentaire après réforme. De même, elle n'a pas soutenu que la Cour d'appel l'aurait de quelque manière dissuadée de le faire. Il sied de rappeler à la recourante que l'interdiction du formalisme excessif ne saurait avoir pour effet d'enlever toute portée et signification à une exigence procédurale dont la légitimité est indiscutable (arrêt 4D_72/2014 du 12 mars 2015 consid. 4 in fine).
La critique est infondée.
3.
3.1. De l'avis de la recourante, la Cour d'appel a apprécié arbitrairement les preuves en admettant que le contrat de travail du 26 janvier 1999 était un contrat simulé et qu'il existait pendant toute la période contractuelle un contrat dissimulé. En se fondant uniquement sur des témoignages pour retenir la simulation, la cour cantonale aurait ignoré des éléments importants. Ainsi, pendant toute la durée du contrat, aucun décompte devant servir de base pour calculer les commissions dues à l'intimé n'a été établi. Au cours de chacune des années 1999, 2000, 2001, la banque a accordé à ce dernier à bien plaire une gratification qu'il n'a pas remise en cause. Pour les années 2002 et 2003, le demandeur n'a pas demandé le versement d'une quelconque rétrocession alors qu'aucun bonus ne lui a été versé. Ni dans la poursuite qu'il a fait notifier à la banque le 18 janvier 2005 ni dans sa demande en paiement du 11 mai 2005 l'intimé ne fait état de l'existence d'un contrat dissimulé; il a attendu 2009 pour faire valoir les rétrocessions dues selon lui de 1999 à 2003.
3.2. La cour cantonale a retenu qu'il est inconcevable d'admettre que le demandeur, lorsqu'il a conclu le contrat de travail du 26 janvier 1999, ait tiré un trait sur son passé d'apporteur d'affaires indépendant et qu'il ait accepté de continuer à accomplir les mêmes tâches avec une rémunération amputée d'une part considérable de sa substance. Appréciant les témoignages recueillis, elle a constaté que la commune et réelle intention des parties était de conférer au demandeur une rémunération de nature salariale équivalente au revenu qu'il avait réalisé en qualité d'apporteur d'affaires, la teneur littérale du contrat de travail n'étant pas déterminante conformément à l'<ref-law>.
3.3.
3.3.1. Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire, au sens de l'art. 9 Cst., lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et reconnu, ou encore heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Il ne suffit pas que sa motivation soit insoutenable; encore faut-il que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat. A cet égard, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue que dans la mesure où celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motif objectif et en violation d'un droit certain. Il n'y a pas arbitraire du fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou serait même préférable (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 18 s.; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 379 s.).
De jurisprudence constante, le Tribunal fédéral se montre réservé en matière de constatation des faits et d'appréciation des preuves, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière aux autorités cantonales (<ref-ruling> consid. 4b p. 40; <ref-ruling> consid. 9 p. 399 et les arrêts cités). Dans ce domaine, l'autorité verse dans l'arbitraire lorsqu'elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsqu'elle tire des conclusions insoutenables à partir des éléments recueillis (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 265; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 234).
3.3.2. Le point de savoir si les parties avaient la volonté (réelle) de feindre une convention revient à constater leur volonté interne au moment de la conclusion du contrat, ce qui constitue une question de fait (arrêts 4A_429/2012 du 2 novembre 2012 consid. 4.2, in SJ 2013 I p. 286; 4A_362/2012 du 28 septembre 2012 consid. 4.2).
On est en présence d'un acte simulé au sens de l'<ref-law> lorsque les deux parties sont d'accord que les effets juridiques correspondant au sens objectif de leur déclaration ne doivent pas se produire et qu'elles n'ont voulu créer que l'apparence d'un acte juridique à l'égard des tiers (<ref-ruling> consid. 5c/cc p. 68; <ref-ruling> consid. 4a p. 343; <ref-ruling> consid. 5 p. 207 et les arrêts cités). La volonté de simuler un acte juridique est nécessairement liée à une intention de tromper (Täuschungsabsicht) (WIEGAND, in Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 6e éd. 2015, n° 51 ad <ref-law>; KRAMER, Berner Kommentar, 1986, n° 110 ad <ref-law>).
La volonté véritable des parties tendra soit à ne produire aucun effet juridique, soit à produire un autre effet que celui de l'acte apparent; dans ce dernier cas, les parties entendent en réalité conclure un second acte dissimulé (<ref-ruling> consid. 5c/cc p. 68; <ref-ruling> consid. 4a p. 343). Juridiquement inefficace d'après la volonté réelle et commune des parties, le contrat simulé est nul (<ref-ruling> consid. 5c/cc p. 68; <ref-ruling> consid. 5 p. 207 et les arrêts cités), tandis que le contrat dissimulé - que, le cas échéant, les parties ont réellement conclu - est valable si les dispositions légales auxquelles il est soumis quant à sa forme et à son contenu ont été observées (<ref-ruling> consid. 2a p. 384 s.; <ref-ruling> consid. 3a p. 390; arrêt 4A_362/2012 déjà cité, consid. 4.1 et les références).
On distingue la simulation totale de la simulation partielle (Teilsimulation); la première porte sur le contrat entier, alors que, dans la seconde, les déclarations échangées sont en partie vraies, en partie simulées (<ref-ruling> consid. 2a; arrêt 4C.56/1994 du 26 septembre 1994 consid. 3a et les références doctrinales). La simulation partielle peut porter sur toutes sortes d'éléments du contrat; par exemple, dans une vente immobilière, les déclarations sur l'objet à vendre correspondent à la volonté réelle des cocontractants, car ces derniers n'entendent simuler que le prix convenu dans l'acte, le prix véritable étant dissimulé (WINIGER, in Commentaire romand, Code des obligations I, 2e éd. 2012, n° 79 ad <ref-law>).
Il incombe à celui qui se prévaut de la simulation d'en apporter la preuve (<ref-law>), étant précisé qu'on ne saurait admettre trop facilement que les déclarations ou attitudes des parties ne correspondent pas à leur volonté réelle; le juge doit se montrer exigeant en matière de preuve d'une simulation (ATF <ref-ruling> consid. 4a p. 342; arrêts 4A_429/2012 déjà cité, ibidem; 4A_96/2008 du 26 mai 2008 consid. 2.3, in SJ 2008 I p. 448).
3.4. Au chiffre 74 b de l'arrêt attaqué, l'autorité cantonale a fait état des dépositions recueillies par le Juge instructeur à propos de la rémunération que devait toucher l'intimé lorsqu'il était lié par contrat de travail à la banque. La recourante ne prétend pas que les résumés des déclarations de ces témoins auraient été retranscrits de manière insoutenable.
Le témoin R._, qui a travaillé pour la banque de 1992 à 2002, a affirmé que le salaire du demandeur avait été convenu d'entente avec le directeur général de la recourante G._; selon le témoin, la commission que devait percevoir le demandeur portait en tout cas sur les droits de garde, les honoraires de gestion, le courtage et peut-être les devises.
L._, ancien employé de la banque devenu directeur de la succursale lausannoise de K._, a déclaré que l'idée était de faire le contrat le plus proche du précédent (i. e. le contrat d'apporteur d'affaires) et que la base de calcul de la rémunération du demandeur devait rester semblable.
S._, qui a travaillé pour la banque jusqu'en 2002, a exposé qu'il avait été clairement convenu que le demandeur conserverait le même niveau de rémunération qu'auparavant et que la banque devait lui verser une commission sur tous les profits qu'elle réaliserait avec les clients qu'il apportait; ce témoin a ajouté que le contrat de travail avait été signé uniquement parce qu'il fallait satisfaire formellement aux exigences de la révision.
L'ancien directeur général de la recourante G._, avec lequel le demandeur a convenu de son salaire, a certifié que la rémunération de ce dernier ne devait pas être inférieure à celle qui aurait été la sienne selon son ancien statut d'apporteur d'affaires indépendant et qu'une assurance lui avait été donnée oralement à ce sujet; il a précisé que ce statut spécial était connu de l'ensemble du conseil d'administration, ainsi que de plusieurs cadres supérieurs, et qu'il en avait fait part à son successeur J._.
J._, pour sa part, a déclaré qu'il avait averti le demandeur que le contrat de travail du 26 janvier 1999 devait être appliqué, que cet accord avait mis fin à toutes les conditions particulières dont ce dernier avait pu bénéficier antérieurement et qu'il devait changer certaines de ses habitudes.
Il appert ainsi que trois témoins (L._, S._ et G._) ont affirmé de concert que le demandeur devait conserver, en tant que partie contractante du contrat de travail conclu en 1999, la rémunération sous forme de commissions qu'il avait touchée auparavant comme apporteur d'affaires. Le témoin R._ a détaillé les postes de la commission. Seul le témoin J._ a exposé que le salaire prévu dans le contrat de travail devait s'appliquer.
Dans ces conditions, il n'était pas arbitraire de retenir en fait, comme l'a fait la cour cantonale, que la rémunération figurant dans le contrat de travail ne correspondait pas à la volonté réelle des parties, lesquelles ont convenu en réalité que les commissions versées jusque-là au demandeur, qui dépassaient le salaire mentionné dans le contrat de travail, lui restaient dues. Il s'agit là de constatations de fait sur la volonté interne des parties, qui lient le Tribunal fédéral en instance de recours en matière civile (arrêt 4A_429/2012 du 2 novembre 2012 déjà cité, consid. 4.2).
Les éléments que la recourante présente comme des indices divergents ne changent rien à ce constat. Si aucun décompte servant de base au calcul des commissions n'a été établi, cela relève du manque général d'organisation de la banque, qui a d'ailleurs été stigmatisé par l'organe de révision extraordinaire M._ SA. Les bonus que le demandeur a encaissés entre 1999 et 2001 n'ont jamais été accordés pour solde de toute prétention envers la banque. Le fait que le demandeur n'a pas demandé de rétrocessions en 2002 et 2003 découle du refus définitif de lui en accorder que lui a opposé le directeur général J._ dans le courant de 2001. La cause de l'obligation indiquée dans une poursuite ne lie pas le poursuivant qui exerce en justice une action en paiement de ladite créance. Enfin, l'énoncé des moyens de droit était facultative dans la demande en vertu de l'<ref-law>/VD.
3.5. L'intention de simuler un élément du contrat de travail, soit le montant du salaire du demandeur, ressort ainsi des constatations de l'arrêt déféré. Le but du contrat partiellement simulé peut résider en l'espèce dans la volonté de tromper le fisc et/ou les assurances sociales.
Du moment qu'il est établi en fait que le salaire indiqué dans le contrat de travail écrit du 26 janvier 1999 ne correspondait pas à la volonté réelle des parties, que celles-ci étaient bien plutôt convenues de rémunérer le demandeur sous la forme de commissions correspondant à des rétrocessions de 331/3% sur les affaires amenées par celui-ci, que l'accord avait notamment pour but de tromper les autorités fiscales, la cour cantonale a pu admettre, sans violer le droit fédéral, que les parties avaient réciproquement et d'une manière concordante manifesté la volonté de dissimuler leur accord véritable derrière un acte apparent destiné à induire en erreur (cf. art. 1 et 18 al. 1 CO). Les faits constatés permettent sans conteste d'admettre une simulation. Celle-ci était partielle, en ce sens que le mensonge ne portait que sur le montant du salaire, et non sur l'existence du contrat de travail lui-même.
4.
4.1. La recourante revient à la charge en prétendant longuement qu'il était arbitraire de retenir que le niveau de rémunération fixé dans le contrat de travail représentait une diminution considérable de sa rémunération antérieure d'apporteur d'affaires.
4.2. Le moyen, de caractère appellatoire, est exempt de toute démonstration un tant soi peu compréhensible d'arbitraire, d'où son irrecevabilité (<ref-law>).
De toute manière, l'expert P._ a constaté qu'entre le 1er mars 1999 et le 31 octobre 2002 le demandeur pouvait prétendre à un total de 4'661'500 fr. à titre de commissions en application des principes de rémunération prévus par le contrat du 29 septembre 1995 (827'000 fr. en 1999, 1'780'000 fr. en 2000, 1'119'500 fr. en 2001 et 935'000 fr. en 2002), alors que la défenderesse lui a versé 1'204'453 fr. au cours de cette période (192'508 fr. en 1999, 251'000 fr. en 2000, 392'225 fr. en 2001, 368'720 fr. en 2002). La différence de rémunération de 3'457'047 fr. retire tout arbitraire à la constatation incriminée.
5.
Pour la recourante, la rémunération instituée par le contrat d'apporteur d'affaires n'a pas été appliquée par les parties.
Cette critique, qui ne prend assise sur aucun élément du dossier, est derechef irrecevable.
6.
6.1. La recourante se réfère à la jurisprudence relative à la réduction du salaire pour le futur par consentement tacite des parties. Elle affirme que ces dernières auraient renoncé à appliquer le contrat dissimulé. Elle fait valoir que, pendant toute la durée du contrat de travail, aucun décompte calculant le droit aux commissions n'a été établi et qu'à la fin de trois exercices annuels sur quatre, le demandeur n'a pas réclamé de rétrocessions. Elle allègue qu'elle pouvait déduire de bonne foi de ce comportement qu'il y avait lieu d'appliquer le contrat du 26 janvier 1999 et que le salarié avait accepté de ne pas percevoir les commissions calculées selon les principes découlant du contrat d'apporteur d'affaires.
6.2. D'après l'<ref-law>, l'employeur paie au travailleur le salaire convenu, usuel ou fixé par un contrat-type de travail ou par une convention collective. Cette disposition étant de droit dispositif (non soumise à l'<ref-law>; <ref-ruling> consid. 10e/aa p. 451), les parties peuvent conventionnellement diminuer le salaire en cours de contrat (arrêts 4C.242/2005 du 9 novembre 2005 consid. 4.1; 4C.426/2005 du 28 février 2006 consid. 5.2.1).
En principe, le silence du travailleur ne vaut pas acceptation de la réduction du salaire proposée par l'employeur. Une acceptation tacite ne peut être admise que dans des circonstances où, selon les règles de la bonne foi, on doit attendre une réaction du travailleur en cas de désaccord de sa part (<ref-ruling> consid. 2b p. 330; arrêts 4A_404/2014 du 17 décembre 2014 consid. 5.1; 4A_216/2013 du 29 juillet 2013 consid. 6.3). Il appartient à l'employeur d'établir ces circonstances. Tel est le cas lorsqu'il est reconnaissable pour le travailleur que l'employeur en déduit son accord tacite et que, dans le cas contraire, il prendrait d'autres mesures ou résilierait le contrat; dans ce cas, le travailleur doit exprimer son désaccord dans un délai raisonnable. Si, conformément à ce qu'il a annoncé au travailleur (c'est le Tribunal fédéral qui souligne), l'employeur paie un salaire réduit, il est en règle générale reconnaissable pour le travailleur que l'employeur part d'une acceptation tacite de la réduction (arrêts 4A_404/2014 du 17 décembre 2014 consid. 5.1; 4A_223/2010 du 12 juillet 2010 consid. 2.1.2; 4C.242/2005 du 9 novembre 2005 consid. 4.3).
6.3. Ces principes jurisprudentiels ne sauraient s'appliquer à la présente cause. En effet, le mécanisme de l'accord sur une réduction tacite du salaire suppose que l'employeur annonce préalablement au travailleur qu'il entend dorénavant modifier le contrat dans un sens qui lui est défavorable.
Or, il ne résulte pas de l'état de fait déterminant que la recourante ait averti l'intimé en cours de contrat qu'elle entendait réduire la rémunération par commissions instituée par le contrat dissimulé convenu le 26 janvier 1999.
Le moyen manque sa cible.
7.
En quelques lignes, la recourante prétend que la cour cantonale aurait commis un abus de droit en lui imposant un contrat simulé ( recte dissimulé) frauduleux. La rémunération accordée à l'intimé serait l'oeuvre d'un complot de ce dernier et de l'ancienne direction de la banque pour dissimuler la réalité à la banque E._.
Le grief, qui repose sur de pures conjectures que rien n'étaye, est irrecevable (art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF).
Au demeurant, l'ancien directeur général de la recourante G._ a déclaré que le statut spécial de l'intimé était connu de l'ensemble du conseil d'administration de la banque. La recourante n'a pas taxé cette constatation d'insoutenable.
8.
8.1. La recourante ne conteste plus que le second congé pour justes motifs donné au travailleur le 17 avril 2003 était injustifié, de sorte que ce dernier a droit à ce qu'il aurait gagné si les rapports de travail avaient pris fin à l'échéance normale du contrat (<ref-law>), ainsi qu'à une indemnité au sens de l'<ref-law> correspondant à deux mois de salaire.
Mais elle s'en prend au calcul de la cour cantonale, laquelle, suivant les chiffres de l'expert P._, a arrêté à la somme totale de 4'137'454 fr.25 en capital, sous déduction des cotisations légales, le salaire dû à l'intimé en application de l'<ref-law>. Elle soutient qu'il aurait fallu tenir compte des avantages sociaux qui lui ont été procurés en plus de son salaire, soit ses vacances payées et les contributions de la banque à l'AVS, au deuxième pilier et à l'assurance-chômage.
8.2. L'expert P._ a arrêté au montant de 3'457'047 fr. le solde dû au demandeur à titre de salaire pour la période du 1er mars 1999 au 31 octobre 2002. Comme les rapports de travail devaient normalement prendre fin le 31 mai 2003 en vertu de la résiliation du 25 novembre 2002, la cour cantonale a alloué à l'intimé le montant supplémentaire de 680'407 fr.25 pour la période s'étendant entre le 1er novembre 2002 et le 31 mai 2003 en se basant sur les chiffres de l'expert, qu'elle a extrapolés.
8.3. La recourante, qui n'invoque même pas l'arbitraire, ne démontre pas qu'il était insoutenable de se fier à cet égard aux calculs de l'expert P._. Elle ne fait état d'aucun défaut manifeste qui entacherait ce rapport d'expertise et que les juges cantonaux n'auraient pu ignorer (cf. sur le caractère complet que doit revêtir un rapport d'expertise, BOVEY, Le juge face à l'expert, in La preuve en droit de la responsabilité civile, Genève 2011, p. 110-111).
Le moyen est irrecevable.
9.
9.1. Sans invoquer la transgression d'une norme légale ou d'un quelconque principe juridique, la recourante reproche aux magistrats vaudois d'avoir accordé au demandeur des indemnités au sens de l'<ref-law> pour réparer sa perte de gain actuelle (entre le 1er mars 2004 et le 6 novembre 2013) et sa perte de gain future (depuis le 6 novembre 2013 jusqu'à ses 65 ans). Elle prétend ainsi qu'ils auraient négligé de prendre en compte certains faits capitaux en retenant qu'elle a indûment dénoncé le demandeur à la Commission fédérale des banque puis à la justice pénale et qu'elle l'a dénigré auprès de K._ et de sa clientèle.
Elle fait grief dans ce cadre à la Cour d'appel d'avoir passé sous silence les graves manquements dont se serait rendu coupable l'intimé à son service en tant que directeur adjoint. A l'en croire, même si le demandeur a été libéré des fins de la procédure pénale " pour des considérations tenant à la spécificité du droit pénal ", il n'aurait pas été exempt de tout reproche dans son activité bancaire, notamment en relation avec la gestion du compte dénommé Y._. La recourante ajoute qu'elle n'est en rien responsable du licenciement du demandeur par K._, lequel serait lié à ses agissements fautifs mis en lumière par M._ SA. Elle conteste enfin que le demandeur aurait été dans l'incapacité de retrouver du travail après avoir été licencié par K._ et soutient qu'il aurait été à même de travailler comme tiers gérant ou de prendre une activité non soumise à la Commission fédérale des banques.
9.2. La cour cantonale a soigneusement décrit, au considérant 7a de l'arrêt entrepris, les principes de la responsabilité délictuelle fondée sur l'<ref-law>, ainsi que le fait qu'à côté des actions spécifiques en protection de la personnalité prévues par l'<ref-law>, l'<ref-law> réserve en particulier l'action en dommages-intérêts et en réparation du tort moral des <ref-law> et 49 CO. Elle a relevé qu'une atteinte à l'honneur (interne et externe) est par principe illicite en raison du caractère absolu des droits de la personnalité, sauf si l'auteur peut invoquer un motif justificatif, tel le consentement de la victime, ou un intérêt prépondérant privé ou public. Elle a encore rappelé que le demandeur a la charge d'établir l'atteinte illicite, l'existence et l'ampleur du dommage, un rapport de causalité naturelle et adéquate entre l'atteinte et le préjudice ainsi que l'existence d'une faute de l'auteur.
Passant à la subsomption, l'autorité cantonale a retenu, au considérant 7 b de l'arrêt attaqué, que la banque savait de longue date que le demandeur était l'ayant droit économique singulièrement du compte Y._ à propos duquel elle a sollicité des informations lors de l'entrevue du 25 novembre 2002. Il ressort en outre de l'arrêt du Tribunal d'accusation du 9 décembre 2004 que, contrairement à ce qu'elle avait indiqué dans sa plainte pénale, la recourante connaissait cette situation depuis plusieurs années, de même que les lacunes administratives et les déficiences organisationnelles dont le demandeur n'était pas responsable. La recourante a de la sorte gravement porté atteinte à la réputation de ce dernier, notamment en faisant état auprès de son nouvel employeur (i. e. K._) de suspicion d'actes délictueux. Elle a donc fait subir au demandeur fautivement une grave atteinte à sa personnalité, qu'aucun intérêt public prépondérant ne pouvait justifier. L'atteinte, illicite et fautive, à la personnalité du demandeur est la cause naturelle et adéquate du dommage qu'il a subi, lequel s'est concrétisé par son incapacité à retrouver un emploi salarié, le comportement de la défenderesse ayant ruiné la réputation professionnelle du premier auprès du milieu bancaire et de son ancienne clientèle. La cour cantonale en a conclu que la banque a engagé sa responsabilité délictuelle envers le demandeur.
9.3. La recourante ne prend nullement appui sur ce raisonnement pour développer son moyen. Elle se borne à présenter, de manière irrecevable, sa propre vision des choses et sa propre appréciation des preuves, comme si le Tribunal fédéral était une cour d'appel revoyant librement les faits et le droit.
Dans ces conditions, il sied de faire justice de ce moyen en renvoyant au considérant susrappelé de l'arrêt cantonal, en application de l'<ref-law>.
10.
10.1. La recourante affirme que c'est à tort que la cour cantonale a accordé au demandeur les montants de 1'273'677 fr.80 pour indemniser la perte de gain subie entre le 1er mars 2004 et le 6 novembre 2013, et de 360'784 fr.30 pour réparer la perte de gain future. Elle insiste à nouveau sur l'obligation qu'avait l'intimé de réduire son dommage.
10.2. L'expert P._ a relevé que le salaire annuel net perçu par le demandeur auprès de K._ s'était élevé à 218'194 fr.28. L'expert a estimé que, comme apporteur d'affaires indépendant, l'intimé était en mesure, après avoir été congédié par K._, de retirer un revenu annuel net de 87'000 fr. A partir de ces données, la cour cantonale a arrêté la perte annuelle nette de l'intéressé à 131'194 fr.28 (218'194 fr.28 - 87'000 fr.). Sur cette base, la cour cantonale a déterminé la perte de gain subie par le demandeur jusqu'au jour du jugement de première instance, ainsi que sa perte de gain future.
10.3. La recourante ne prétend pas que le rapport de l'expert judiciaire P._ ne serait pas complet, qu'il ne serait pas clair ou qu'il serait contradictoire. Autrement dit, elle ne critique aucunement les bases du raisonnement de cet expert, qui, ainsi qu'on l'a vu, a bel et bien reconnu que le demandeur disposait toujours d'une capacité de gain à la suite de son licenciement par son dernier employeur.
Le moyen, appellatoire, est à nouveau irrecevable.
11.
11.1. La recourante, qui se prévaut d'une violation de l'<ref-law>, soutient enfin qu'il n'y a pas lieu d'accorder la moindre indemnité pour tort moral à l'intimé, car ce dernier est seul responsable de sa déchéance.
11.2. La cour cantonale a retenu, au considérant 9 de l'arrêt critiqué, que l'admission du principe d'une réparation morale se justifie au regard de l'atteinte particulièrement grave, d'un point de vue objectif, dont a été victime le demandeur, et de la souffrance morale avérée d'un homme qui a passé brutalement d'un statut social de très haut niveau à la ruine de sa réputation professionnelle ayant provoqué une incapacité durable de retrouver un emploi dans le milieu bancaire.
11.3. L'<ref-law> prévoit que celui qui subit une atteinte illicite à sa personnalité a droit à une somme d'argent à titre de réparation morale, pour autant que la gravité de l'atteinte le justifie et que l'auteur ne lui ait pas donné satisfaction autrement; l'ampleur de la réparation morale dépend avant tout de la gravité des souffrances consécutives à l'atteinte subie par la victime et de la possibilité de l'adoucir sensiblement par le versement d'une somme d'argent; la fixation de l'indemnité pour tort moral est une question d'appréciation (<ref-ruling> consid. 2.2.2 p. 309; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 704; arrêt 4A_117/2013 du 31 juillet 2013 consid. 2.2).
11.4. En l'espèce, l'intimé, après avoir été congédié par K._ pour le 29 février 2004, alors qu'il était âgé de 52 ans, n'a pas retrouvé d'emploi de cadre dirigeant. S'il a exercé une activité indépendante par la suite, il a perdu l'essentiel de ses clients, la banque l'ayant dénigré envers ceux-ci. Il est incontestable que le demandeur a été gravement affecté par cette situation, qui lui a fait perdre son statut social.
Le principe de l'octroi d'une indemnité satisfactoire se justifie pleinement.
Quant à la fixation du montant de l'indemnité pour tort moral, laquelle est essentiellement une question d'appréciation relevant du juge du fait, elle ne fait l'objet d'aucune critique. La somme de 10'000 fr. retenue par la cour cantonale sera donc confirmée.
12.
En définitive, le recours doit être rejeté en tant qu'il est recevable. La recourante, qui succombe, paiera l'émolument judiciaire et versera une indemnité à titre de dépens à l'intimé (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
La présente décision sur le fond prive d'objet la requête d'effet suspensif de la recourante.

rulings:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 27'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à l'intimé une indemnité de 32'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour d'appel civile.
Lausanne, le 25 août 2016
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : Ramelet

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